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[答195] 3倍の角をもつ三角形

ヤドカリ

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[答195] 3倍の角をもつ三角形


 △ABCにおいて、AB=125,AC=112,∠A=3∠C のとき、BC=?


[解答1]

 辺BC上に ∠CAD=∠C を満たす点D をとり、AD=CD=x とすると、

 cos∠ADB=-cos∠ADC 、BD=125 だから、余弦定理により、

 (x2+1252-1252)/(2・x・125)=-(x2+x2-1122)/(2・x・x)、

 x2/125+(2x2-1122)/x=0 、

 x3+250x2-125・1122=0 、

 (x-70)(x2+320x+22400)=0 、x=70 になります。

 従って、BC=125+x=195 となります。


[解答2]

 辺BC上に ∠CAD=∠C を満たす点D をとり、AD=CD=x とすると、

 BD:DC=125:x だから、スチュワートの定理により、

 xAB2+125AC2=(125+x)AD2+xBD2+125CD2

 1252x+125・1122=(125+x)x2+1252x+125x2

 x3+250x2-125・1122=0 、

 (x-70)(x2+320x+22400)=0 、x=70 になります。

 従って、BC=125+x=195 となります。


[解答3]

 ∠C=θ,BC=y とすると、∠A=3θ,∠B=π-4θ になります。

 また、0<4θ<π より、0<θ<π/4、1>cosθ>1/√2 となります。

 ここで、sin3θ=sinθ(3-4sin2θ)=sinθ(4cos2θ-1)、

   sin4θ=2sin2θcos2θ=4sinθcosθ(2cos2θ-1) ですので、

 2cosθ=t とおくと、√2<t<2 で、

   sin3θ=(t2-1)sinθ、sin4θ=(t3-2t)sinθ となります。

 正弦定理より、125/sinθ=y/sin3θ=112/sin4θ、

   125/sinθ=y/{(t2-1)sinθ}=112/{(t3-2t)sinθ}、

   125=y/(t2-1)=112/(t3-2t)、

   125(t3-2t)=112 かつ y=125(t2-1) となります。

   125(t3-2t)=112 より、(5t-8)(25t2+40t+14)=0、

   √2<t<2 と併せて、t=8/5。

   x=125(t2-1)=5(5t)2-125=5・82-125=195 です。

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Comments 8

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古い人  
No title

此れもなんでしょう綿菓子のような花ですね。

原産地は中国のほうと違うかね又宿題です。 ポチ。

アキチャン  
No title

こんにちわ。
栗の花もこんな感じですね f(^_^;
なんでしょう? ポチ♪

ニリンソウ  
No title

スモークツリーですか?
秋にはこんなになるのかな?
ぽち。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
原産地は中国~欧州で、スモークツリーと云います。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
植物園の近くにありました。
見ての通り、スモークツリーといいます。
和名「白熊(はぐま)の木」、白熊はヤク(動物)のことで、尾の白い毛に見立てて。
別名「霞(かすみ)の木」。霞がかっているようです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
スモークツリーをよく御存じですね。
名札があって、初めて知りましたが、すぐ覚えられました。

ふじも  
No title

私は3次方程式を解くのに関数電卓を使いました。
この因数分解はなかなか出来ないと思います。
気合いで因数分解するしかないのでしょうか?

ヤドカリ  
No title

ふじもさん、コメントを有難う御座います。
x^3+250x^2-125・112^2=0 において、10=a とおくと、
x^3+25ax^2-1568a^3=0 となって、少し楽かと思います。
125・112^2 が (5・2)^3 の倍数、250 が 5・2 で割り切れるからです。