FC2ブログ

Welcome to my blog

内心・傍心と内接円・傍接円

ヤドカリ

ヤドカリ



内心・傍心と内接円・傍接円


 △ABCにおいて、BC=a,CA=b,AB=,s=(a+b+c)/2,△ABC=S 、内心をI,内接円の半径をrとし、

 ∠A内,∠B内,∠C内の傍心を Ia,Ib,Ic,傍接円の半径を ra,rb,rc と定めます。


(1) 図を見れば、△IaIbIc の垂心が I になることが分かります。


(2) △ABC=△IBC+△ICA+△IAB だから、S=ar/2+br/2+cr/2=(a+b+c)r/2=sr になります。


(3) △ABC=△IaCA+△IaAB-△IaBC だから、

  S=bra/2+cra/2-ara/2=(b+c-a)ra/2=(s-a)ra になります。

  同様に、S=(s-b)rb=(s-c)rc になります。


(4) ヘロンの公式の証明

  BC,CA,AB にIから下ろした垂線の足を P,Q,R 、

  Iaから下ろした垂線の足を T,U,S とすれば、

  BP=BR=(BC+BA-AC)/2=(a+c-b)/2=s-b 、

  BT=BS,CT=CU だから、2AS=AS+AU=a+b+c=2s となって、

  AS=s 、BT=BS=AS-AB=s-c 、

  △BPI∽△IaTB より、BP:IaT=PI:TB 、(s-b):ra=r:(s-c) 、 rra=(s-b)(s-c) になります。

  また、S=sr=(s-a)ra だから、 S2=s(s-a)rra=s(s-a)(s-b)(s-c) です。


(5) S=sr=(s-a)ra=(s-b)rb=(s-c)rc より、

  1/r=s/S,1/ra=(s-a)/S,1/rb=(s-b)/S,1/rc=(s-c)/S だから、

  1/ra+1/rb+1/rc=(s-a)/S+(s-b)/S+(s-c)/S=(3s-a-b-c)/S=s/S=1/r になります。

  1/r=1/ra+1/rb+1/rc を「ルーリエの定理」といいます。
 

(6) S=sr=(s-a)ra=(s-b)rb=(s-c)rc より、

  S4=s(s-a)(s-b)(s-c) r rarbrc=S2 r rarbrc だから、 S2=r rarbrc

  S=√( r rarbrc ) になります。

  1/r=1/ra+1/rb+1/rc に r2rarbrc をかけて、 r rarbrc=r2( rbrc+rcra+rarb ) 、

  S=r √( rbrc+rcra+rarb ) になります。

  1/r=1/ra+1/rb+1/rc の 逆数をとって、 r=rarbrc / ( rbrc+rcra+rarb ) になるから、

  S=rarbrc / √( rbrc+rcra+rarb ) になります。
 

(7) ra+rb+rc-r=S/(s-a)+S/(s-b)+S/(s-c)-S/s

  =S{ s(s-b)(s-c)+s(s-c)(s-a)+s(s-a)(s-b)-(s-a)(s-b)(s-c) }/{ s(s-a)(s-b)(s-c) }

  =S{ 2s3-(a+b+c)s2+abc }/S2=abc/S=4R (Rは外接円の半径)

  ( 4RS=abc は、http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/5718559.html を参照 )

  従って、4R+r=ra+rb+rc が成り立ちます。


☆ (1)(2)(3)はわりに知られている内容。(4)(5)は uch*n*anさんのコメント、(5)(6)はふじもさんのコメントより 

  (5)の定理名と(7)はこの記事に対するふじもさんのコメントより追加。
.

スポンサーサイト



Comments 13

There are no comments yet.
ヤドカリ  
No title

第196問の解答解説にこの記事を使います。

アキチャン  
No title

おはようございます。
秋ですネ (o^-^o) ポチ♪

uch*n*an  
No title

まとめをありがとうございます。私は,(3)も知りませんでした (^^;
(6)は,最後の式は当然導いたわけですが,途中の式の代わりに,
s^2 = rb * rc + rc * ra + ra * rb,s = √(rb * rc + rc * ra + ra * rb)
を導きました。いずれにしても,美しい式が目白押しですね。何かうれしい ^^/
なお,個人的には,ヘロンの公式を初等幾何だけで導けたのが一番の収穫でした。

こっこちゃん  
No title

(o^∇^o)ノこんにちは
セイタカアワダチソウ

風が 吹いてなかったのですね
凛としてますね” ポチッ

ニリンソウ  
No title

シオンの薄紫とオミナエシの黄色が素敵です!
まだ綺麗に咲き残ってますね。
ぽち!

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
久しぶりの「算数・数学」の書庫ですので、季節がわかる画像を使いました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
この問題のおかげで私もかなりの勉強になりました。
なお、(3)を前提に作問しました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
風は吹いていたのですが、止んだ瞬間にシャッターを切りました。
偶然うまくいきました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
私も薄紫と黄色という補色に目がいきました。
近くの女郎花は枯れかけていたのですが、シオンの前のだけはきれいでした。
ラッキーでした。

古い人  
No title

シオンもオミナエシも今年の見納めですね。

綺麗に咲いてますね。 ポチ。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントとポチを有難う御座います。
これが多分見納めだと思います。シオンが沢山咲いていて圧倒されました。

ふじも  
No title

内接円と傍接円に関する式はいろいろありますが、
その中でも、(5)と(6)の

1/r = 1/ra + 1/rb + 1/rc (ルーリエの定理)
S = √(r×ra×rb×rc)

は非常にキレイな式だと思います。
あと外接円の半径Rも絡めた式

4R + r = ra + rb + rc

もキレイな式ですね。

ヤドカリ  
No title

ふじもさん、コメントを有難う御座います。
キレイな式が並んでいますね。早速、記事に追加しました。