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[答198] 各位の和の倍数である3桁の数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答198] 各位の和の倍数である3桁の数


 234/(2+3+4)=26 ですので、234 は各位の和の倍数です。

 この様な、各位の和の倍数である3桁の数の中で、商の値(234 の場合は 26)が最小となるものは?


[解答]

 もとの3桁の数の百の位をa,十の位をb,一の位をc とし、

 Q=(100a+10b+c)/(a+b+c) とおきます。

 Q=(100a+10b+c)/(a+b+c)=100-(90b+99c)/(a+b+c) だから、

 任意のb,cに対して、a=1 のときに最小になります。

 a=1 のとき、Q=(100+10b+c)/(1+b+c)=10+(90-9c)/(1+b+c) だから、

 任意のcに対して、b=9 のときに最小になります。

 a=1,b=9 のとき、Q=(190+c)/(10+c)=1+180/(10+c) だから、

 c=9 のときに最小になります。

 a=1,b=9,c=9 のとき、Q=199/19=10+9/19 で、これ以上の最小の整数、

 Q=11 になる3桁の数が存在すれば、それが答です。

 a=1,b=9 のとき、Q=(190+c)/(10+c)=1+180/(10+c) だから、

 c=8 であれば、Q=11 になり、198 が答です。

 念のために、Q=(100a+10b+c)/(a+b+c)=11 とすれば、

 100a+10b+c=11a+11b+11c 、89a=b+10c 、

 b+10c は最大でも 99 ですので、a=1 が確定し、b=9,c=8 も決まります。



[参考]

 uch*n*anさんからのコメントに、「確認も兼ねてプログラムを組んでみました。

 結果は,総数 180 個,商の最小は 11 で 198 の 1 個,最大は 100 で 9 個,

 個数が一番多いのは 37 で 15 個,でした。」があり、プログラムを組んでリストを作りました。

 商11 ⇒ 198
 商12 ⇒ 108
 商13 ⇒ 117 156 195
 商14 ⇒ 126
 商15 ⇒ 135
 商16 ⇒ 144 192 288
 商17 ⇒ 153
 商18 ⇒ 162
 商19 ⇒ 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 399
 商20 ⇒ 180
 商21 ⇒ 378
 商22 ⇒ 132 264 396
 商23 ⇒ 207
 商24 ⇒ 216
 商25 ⇒ 150 225 375
 商26 ⇒ 234 468
 商27 ⇒ 243 486
 商28 ⇒ 112 140 224 252 280 308 336 364 392 448 476 588
 商29 ⇒ 261
 商30 ⇒ 270
 商31 ⇒ 372 465 558
 商32 ⇒ 576
 商33 ⇒ 594
 商34 ⇒ 102 204 306 408
 商35 ⇒ 315
 商36 ⇒ 324 648
 商37 ⇒ 111 222 333 370 407 444 481 518 555 592 629 666 777 888 999
 商38 ⇒ 342 684
 商39 ⇒ 351
 商40 ⇒ 120 240 360 480
 商41 ⇒ 738
 商42 ⇒ 756
 商43 ⇒ 516 645 774
 商44 ⇒ 792
 商45 ⇒ 405
 商46 ⇒ 230 322 414 460 506 552 644 690 736 782 828 874 966
 商47 ⇒ 423 846
 商48 ⇒ 432 864
 商49 ⇒ 441 735 882
 商50 ⇒ 450
 商51 ⇒ 918
 商52 ⇒ 312 624 780 936
 商53 ⇒ 954
 商54 ⇒ 972
 商55 ⇒ 110 220 330 440 550 605 660 715 770 825 880 935 990
 商56 ⇒ 504
 商57 ⇒ 513
 商58 ⇒ 522 870
 商59 ⇒ 531
 商60 ⇒ 540
 商61 ⇒ 732 915
 商64 ⇒ 320 512 640 704 832 960
 商67 ⇒ 201 402 603 804
 商68 ⇒ 612
 商69 ⇒ 621
 商70 ⇒ 210 420 630 840
 商73 ⇒ 511 730 803
 商76 ⇒ 912
 商78 ⇒ 702
 商79 ⇒ 711
 商80 ⇒ 720
 商82 ⇒ 410 820 902
 商85 ⇒ 510
 商89 ⇒ 801
 商90 ⇒ 810
 商91 ⇒ 910
 商100⇒ 100 200 300 400 500 600 700 800 900

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Comments 10

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
ピンクの可愛いお花は、オキザリスかしら? (o^-^o)
ポチ♪

古い人  
No title

此の花は可愛いピンクが冴えていて綺麗ですね。

名前は勉強不測です五弁整形花ですね。 ポチ。

いっちゃん  
No title

おはようございます。。

紅カタバミに似たこの花はもっと淡い色で可愛いですね。。ポチ

uch*n*an  
No title

若干考え方が異なるようなので,ご参考までに,私の解法を書いておきます。

n,k を自然数,a,b,c を整数,a = 1 ~ 9,b = 0 ~ 9,c = 0 ~ 9 とします。
題意より,n = 100a + 10b + c = k(a + b + c),(100 - k)a + (10 - k)b + (1 - k)c = 0 です。
ここで,k <= 10 とすると,- k >= - 10 より,
(100 - k)a + (10 - k)b + (1 - k)c >= 90a - 9c >= 90 - 81 = 9 > 0
なので,k >= 11 です。そこで,k = 11 とすると,
(100 - k)a + (10 - k)b + (1 - k)c = 89a - b - 10c
これが 0 は,89a = 10c + b ですが,a,b,c の範囲から,a = 1,b = 9,c = 8 だけです。
そこで,n = 198,になります。

こっこちゃん  
No title

こんばんは
ペチニアですよね”

まだ元気に咲いてくれて 嬉しいですよね” ポチッ

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
残念ながら花の名前はよく分かりません。
沢山咲いていたので撮りました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私も名前は分かりませんが、綺麗に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
葉と大きさからカタバミでないことは分かったのですが、
カタバミより淡いピンクが目立ちました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
kが自然数であることを前提として解くとこのようになりますね。
有理数を含めて199のときが最小になることもついでに分かる解答にしました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
この写真は9月に撮ったものですのでまだ咲いているかどうか分かりませんが、
ピンクが綺麗で、ボツにできませんでした。
確かに、花の大きさや葉を見るとペチュニアの一種かも知れません。
名前はよく分かりませんでした。