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ピックの定理

ヤドカリ

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ピックの定理


 間隔が1の格子点があるとき、格子点を頂点とする多角形の面積は、

  (内部の格子点の数)+(頂点や辺上の格子点の数)/2-1

 で表されます。これをピックの定理と言います。

 図の場合は、内部の格子点(赤)の数は 31 、頂点や辺上の格子点(緑・青)の数は 12 だから、

 面積は 31+12/2-1=36 になります。


[理由]

 内部の格子点(赤)の数をa 、頂点や辺上の格子点(緑・青)の数をb とします。

 多角形を面積が 1/2 の、格子点を結ぶ三角形に分け、三角形の個数を数えます。

 n角形の内角の和は 180゚×(n-2) だから、

 分けた三角形の内角のうち、もとの多角形の頂点に集まるものは全部で、180゚×(n-2) 、

 辺の格子点の数は b-n で、1個の格子点に集まる三角形の内角は、180゚、

 内部の1個の格子点に集まる三角形の内角は、360゚ です。

 従って、分けた三角形の内角すべての和は、

 360゚×a+180゚×(b-n)+180゚×(n-2)=180゚×(2a+b-n+n-2)=180゚×(2a+b-2)、

 三角形の個数は、2a+b-2 個です。

 全部の面積は、(2a+b-2)/2=a+b/2-1 になります。

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Comments 12

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スモークマン  
No title

お見事ですね♪
オイラーもガウスも見逃してたんですよねぇ...^^...?
最初は...そんなバカなってな気がしますもんね...^^;...

いっちゃん  
No title

こんばんは。
こんな定理習ったっけ?
知らなかったのは私だけだったりして。><

こんなアングルの写真は大好きです。木漏れ日のシャワーを浴びたら癒されて元気になれそうですね。^^ポチ

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントを有難う御座います。
見事な定理と私も思います。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
多分、この定理は習ったことがない定理です。

この竹林は私も好きです。

古い人  
No title

うわー竹やぶの光から何か希望が見えてきますね。

明るい希望だといいね。

アキチャン  
No title

おはようございます。
木漏れ日がステキに撮れてますね~ (o^-^o)
ポチ♪

uch*n*an  
No title

確かにきれいな定理です。
面積が格子点の個数と関係があることは明らかですが,こんな簡単な式で書けるとは。
それと,この角度を使って面積 1/2 の三角形の個数を数える証明もお見事です。
以前に証明したときには,長方形,簡単な直角三角形,一般の三角形,多角形,と,
順次証明しましたが,この方が簡単ですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私は真っ直ぐ伸びる樹木や竹の、このアングルの写真が好きです。
陽光に希望を見出せるのが素晴らしいです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
竹林の写真ですので、「木漏れ日」と言ってよいのかどうかは知りませんが、
これ以外にピッタリの言葉がありませんね。
いずれにしろ、木漏れ日のある風景は暖かいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
角度を使って面積 1/2 の三角形の個数を数える証明は、以前どこかで見た記憶があり、
図形を作って再現したものです。
私は大まかにしか記憶できませんので、
長方形,簡単な直角三角形,一般の三角形,多角形,
の証明はできません。
crazy_tomboさんのブログにその証明が書かれているのに刺激を受け、
第201問の解答説明の直前でなく、早めにUPしました。

uch*n*an  
No title

crazy_tomboさんのブログにも証明があったのですね。
詳しくは見ていませんが,証明の方針は,私が以前に行ったものと同じようです。
まぁ,長方形,簡単な直角三角形,一般の三角形,多角形,というのは,
自然な考え方なのだろうと思います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
> 長方形,簡単な直角三角形,一般の三角形,多角形,というのは,
> 自然な考え方なのだろうと思います。
私もそう思いますが、それだけのステップをふむ根気がないもので……。