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[答199] さいころの目の位置のカードを裏返しての期待値

ヤドカリ

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[答199] さいころの目の位置のカードを裏返しての期待値


 片面が赤で片面が白のカードが6枚あって、位置1~位置6に白の面を表にして置きます。

 さいころを振って出た目の位置のカードを裏返すことを繰り返します。

 さいころを3回振ったときの、赤の面が表であるカードの枚数の期待値は?


[解答1]

 さいころを3回振ったとき、

 すべてが異なる(赤3枚の)確率は、6・5・4/63=5/9、

 同じ数を含む(赤1枚の)確率は、1-5/9=4/9 だから、

 期待値は、3・5/9+1・4/9=19/9 になります。


[解答2] 一般化

 さいころをn回振ったときの、赤の面が表であるカードの枚数の期待値を E(n) とします。

 さいころを n+1 回目振ると、

 表の赤が、減る確率は E(n)/6 、増える確率は 1-E(n)/6 だから、

 E(n+1)=E(n)-E(n)/6+1-E(n)/6=1+(2/3)E(n)

 よって、E(n+1)-3=(2/3)(E(n)-3)、E(n)-3=(2/3)n(E(0)-3)、

 E(0)=0 だから、E(n)=3-3(2/3)n になります。

 E(3)=3-3(2/3)3=19/9 になります。


[解答3] 厳密に一般化

 さいころをn回振ったときの、赤の面が表であるカードがk枚である確率を p(n,k)、

 赤の面が表であるカードの枚数の期待値を E(n) とします。

 p(n+1,0)=(1/6)p(n,1), p(n+1,1)=p(n,0)+(2/6)p(n,2),

 p(n+1,2)=(5/6)p(n,1)+(3/6)p(n,3), p(n+1,3)=(4/6)p(n,2)+(4/6)p(n,4),

 p(n+1,4)=(3/6)p(n,3)+(5/6)p(n,5), p(n+1,5)=(2/6)p(n,4)+p(n,6),

 p(n+1,6)=(1/6)p(n,5) だから、

 E(n+1)=p(n+1,1)+2p(n+1,2)+3p(n+1,3)+4p(n+1,4)+5p(n+1,5)+6p(n+1,6)

    =p(n,0)+(5/3)p(n,1)+(7/3)p(n,2)+3p(n,3)+(11/3)p(n,4)+(13/3)p(n,5)+5p(n,6)

    =p(n,0)+p(n,1)+p(n,2)+p(n,3)+p(n,4)+p(n,5)+p(n,6)

     +(2/3)p(n,1)+(4/3)p(n,2)+2p(n,3)+(8/3)p(n,4)+(10/3)p(n,5)+4p(n,6)

    =1+(2/3){p(n,1)+2p(n,2)+3p(n,3)+4p(n,4)+5p(n,5)+6p(n,6)}

    =1+(2/3)E(n)

 と、同じ漸化式を得ます。

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Comments 10

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古い人  
No title

今日の黄色も目の覚めるような色ですね。

カンナも種類が多いですねよく目立つ色です。 ポチ。

いっちゃん  
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おはようございます。
この花の色もそうですが、カンナには寒色がないような気がします。いつも明るい色を見てきました。不思議です。
朝から元気色のカンナで元気よくいきたいと思います。
ポチ

uch*n*an  
No title

一般化ですが,確率を求めるのもそれほど難しくないので,
私は,定義どおりに,まず確率を求め,次に期待値を求めましたが,
最初から期待値に注目して計算した方が簡単でしたね。
また,[解答2]で,E(n) は一般に整数ではないので,
>表の赤が、減る確率は E(n)/6
は,一見とまどいますが,E(n) = ∑[k=0,6]{k * p(n,k)} なので,
n 回のとき,p(n,k) の確率で赤が k 枚だから,
n+1 回のとき,赤が 1 枚減る確率は,
∑[k=0,6]{p(n,k) * k/6} = (∑[k=0,6]{k * p(n,k)}) * 1/6 = E(n)/6
と考えれば明らかですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
カンナの季節ももう終わりです。よく見られた夏を思い出します。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、カンナは黄色・橙色・赤しか見ませんね。
暑い夏にはウンザリしましたが、涼しくなると暖色が暖かく感じます。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
E(n) が整数でなくても、赤の枚数の平均を表しますので、
拡張して、赤をE(n)枚と考えるのが手っ取り早いと思います。
ただ、説得力に欠けますし、本当にそれで良いのかという疑問もありますので、
[解答3]を加えておきました。

uch*n*an  
No title

>E(n) が整数でなくても、赤の枚数の平均を表しますので、
>拡張して、赤をE(n)枚と考えるのが手っ取り早いと思います。
もちろんそうなのですが,いつもちょっとひっかかるので,
必要に応じて,あのように考えることにしています。
[解答3]はより厳密ですが,こう考えておけば,それで十分のようにも思います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私も、いつもひっかかっています。
どの程度に厳密にするのかも迷います。

こっこちゃん  
No title

こんばんは
カンナ 黄色もステキですね

黄色は 元気をくれますよね”” ぽち☆

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
今月もよろしくお願いします。