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べき乗の和

ヤドカリ

ヤドカリ



 Sk(n)=1k+2k+3k+……+nk
 として、Sk(n) を求めます。


 kを2以上の自然数として、Fk(x)=xk(x+1)k/2 とし、aはk以下の最大の奇数とします。

 Fk(x)-Fk(x-1)=xk(x+1)k/2-(x-1)kxk/2

  =xk{(x+1)k-(x-1)k}/2

  =xk(kC1xk-1kC3xk-3kC5xk-5+……+kCaxk-a)

 Fk(x)-Fk(x-1)=kC1x2k-1kC3x2k-3kC5x2k-5+……+kCax2k-a
 
 x=1,2,3,……,n を代入し、加えると、Fk(0)=0 だから、

 Fk(n)=kC1・S2k-1(n)+kC3・S2k-3(n)+kC5・S2k-5(n)+……+kCa・S2k-a(n)

  k=2 として、n2(n+1)2/2=2・S3(n)

  k=3 として、n3(n+1)3/2=3・S5(n)+S3(n)

  k=4 として、n4(n+1)4/2=4・S7(n)+4・S5(n)

  k=5 として、n5(n+1)5/2=5・S9(n)+10・S7(n)+S5(n)

   ……………………………………………………

 Fk(x)-Fk(x-1)=kC1x2k-1kC3x2k-3kC5x2k-5+……+kCax2k-a
 
 の両辺をxで微分して、

 Fk'(x)-Fk'(x-1)=(2k-1)kC1x2k-2+(2k-3)kC3x2k-4+(2k-5)kC5x2k-6+……+(2k-a)kCax2k-a-1

 x=1,2,3,……,n を代入し、加えると、Fk'(0)=0 だから、

 Fk'(n)=(2k-1)kC1・S2k-2(n)+(2k-3)kC3・S2k-4(n)+(2k-5)kC5・S2k-6(n)+……+(2k-a)kCa・S2k-a-1(n)

 Fk'(x)=kxk-1(x+1)k-1(2x+1)/2 だから、

  k=2 として、2n(n+1)(2n+1)/2=6・S2(n)

  k=3 として、3n2(n+1)2(2n+1)/2=15・S4(n)+3・S2(n)

  k=4 として、4n3(n+1)3(2n+1)/2=28・S6(n)+20・S4(n)

  k=5 として、5n4(n+1)4(2n+1)/2=45・S8(n)+70・S6(n)+5・S4(n)

   ……………………………………………………


 このようにして、次の公式を得ます。

  S2(n)=(1/6)n(n+1)(2n+1)

  S3(n)=(1/4)n2(n+1)2

  S4(n)=(1/30)n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)

  S5(n)=(1/12)n2(n+1)2(2n2+2n-1)

  S6(n)=(1/42)n(n+1)(2n+1)(3n4+6n3-3n+1)

  S7(n)=(1/24)n2(n+1)2(3n4+6n3-n2-4n+2)

  S8(n)=(1/90)n(n+1)(2n+1)(5n6+15n5+5n4-15n3-n2+9n-3)

  S9(n)=(1/20)n2(n+1)2(2n6+6n5+n4-8n3+n2+6n-3)

  S10(n)=(1/66)n(n+1)(2n+1)(3n8+12n7+8n6-18n5-10n4+24n3+2n2-15n+5)

   ……………………………………………………


 以上の結果、Sk(n) は、因数 n(n+1) を含む、nの整式であることが分かります。

 云いかえると、定数項がなく、Sk(-1)=0 を満たすnの整式です。

 また、Sk(n)=Sk(n-1)+nk だから、

 nで微分すると、Sk'(n)=Sk'(n-1)+k・nk-1 となります。

 Sk'(0)=C とおいて、両辺から引くと、

 Sk'(n)-C=Sk'(n-1)-C+k・nk-1 となります。

 しかも、n=0 のとき Sk'(n)-C=0 です。

 ところで、Sk-1(n) は Sk-1(n)=Sk-1(n-1)+nk-1 ,Sk-1(0)=0 を満たす関数ですので、

 Sk'(n)-C が k・Sk-1(n) であることを意味しています。

 Sk'(n)=k・Sk-1(n)+C になります。

 Sk(n) は、k・Sk-1(n)+C を定数項が0になるように積分すると得られる ことを示しています。

 ただし、C は、Sk(-1)=0 を満たすように 決めます。

 例えば S1(n)=(1/2)n2+(1/2)n ⇒ 2S1(n)=n2+n ⇒ S2(n)=(1/3)n3+(1/2)n2+Cn

  S2(-1)=-1/3+1/2-C=0 より C=1/6、 よって、 S2(n)=(1/3)n3+(1/2)n2+(1/6)n です。

★ 計算結果は http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/21784725.html をご覧下さい。

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Comments 15

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アキチャン  
No title

おはようございます。
少し前でしょうか? 綺麗ですネ (o^-^o)

アキチャン  
No title

前のお花は色違いでしょうか・・かわいい色合いですネ (o^-^o) ポチ♪

古い人  
No title

此れは又始めての花ですね。

私は初めての花ですね綺麗です。

何ともいえぬ綺麗てすね花の名前がわかりません。 ポチ。

黒翼  
No title

Sk'(n) - Sk'(0)は定数項を含まないので...

の後からがどうしても分かりません.僕のようなものでも納得のいくような補足をお願いします.

お手数おかけして申し訳ありません

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花は、ダンシングコレオプシス・チャチャチャ で、
リンク先の花は、ダンシングコレオプシス・ジャイブ です。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
植物園で観た花です。名前は↑上のコメント通りです。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
記事を書き直しましたので、再考して下さいね。

こっこちゃん  
No title

こんにちは
花の名前も難しく

問題も少しもわかりません~~
回答される人 いるのですかね” ポチ

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
花は2種類あった写真を使いました。
その下は1行目に書いた式の求め方の説明です。

ニリンソウ  
No title

毎日花をありがとう!花に止まった蝶も撮れていますね
ポチ

いっちゃん  
No title

うわぁ~ダンスしてるみたいなお花なんですね。。
よくみると
解答の数字もダンスしてるみたいです^^ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
植物園で観た花です。このとき初めて観ました。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
ダンスに見えましたか、沢山の花がかたまって咲いている姿はいいです。
沢山の数式はいかがですか?

黒翼  
No title

Sk'(n) - C=k・Sk-1(n)となる理由がいまいちピンときません.

n=0で,Sk'(n) - C=0となる事からどのように導かれるのでしょうか.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
また1行加えました。「導く」というより「意味している」と考えて下さい。