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[答203] 条件をみたす4つの自然数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答203] 条件をみたす4つの自然数


 a+d=b+c, a<b<c<d≦15 を満たす自然数の組(a,b,c,d)は何組?


[解答1] 再出発さんのコメントより

 地道な解法ですが、c-b の値で分けるときれいな三角形が描けました。

 c-b=1 のとき

 (b,c)=(2,3)のとき、{1,2,3,4}→1通り

 (b,c)=(3,4)のとき、{1,3,4,6},{2,3,4,5}→2通り

 (b,c)=(4,5)のとき、{1,4,5,8},{2,4,5,7},{3,4,5,6}→3通り

  …………

 のように数えていくと下の表のようになります。

 c-b=12 のとき                 1
 c-b=11 のとき                1  1
 c-b=10 のとき               1  2  1
 c-b= 9 のとき             1  2  2  1
 c-b= 8 のとき            1  2  3  2  1
 c-b= 7 のとき           1  2  3  3  2  1
 c-b= 6 のとき         1  2  3  4  3  2  1
 c-b= 5 のとき        1  2  3  4  4  3  2  1
 c-b= 4 のとき       1  2  3  4  5  4  3  2  1
 c-b= 3 のとき     1  2  3  4  5  5  4  3  2  1
 c-b= 2 のとき    1  2  3  4  5  6  5  4  3  2  1
 c-b= 1 のとき   1  2  3  4  5  6  6  5  4  3  2  1

 これらの和を求めると
       6
 N = Σ n(27-4n) = 203 ……(答)
      n=1

[解答2]

 (a,b,d)の選び方は、153=455 組あります。

 c=a+d-b とすれば、(a,b,c,d)が決まりますが、

 この中には、b=c になる場合と b<c になる場合と b>c になる場合があります。

 b=c になる場合は、b=c=(a+d)/2 だから、aとd が両方偶数か両方奇数の場合で、

 7282=21+28=49 組あります。

 例えば、(1,2,5)→(1,2,4,5), (1,4,5)→(1,4,2,5) のように、

 b<c になる場合と b>c になる場合が同数ありますので、

 条件を満たすものは、(455-49)/2=203 組になります。


[解答3] 再出発さんのコメントより

 a<b<c<d≦n のときの {a,b,c,d}の組数をN(n)とします。

 また、条件をつけたときの組数を N{条件} とします。

 N(k)=N{a<b<c<d≦n-1}+N{2≦a<b<c<d≦n}-N{2≦a<b<c<d≦n-1}+N{1=a<b<c<d=n}

    =N(n-1)+N(n-1)-N(n-2)+([n/2]-1)

    =2・N(n-1)-N(n-2)+[n/2]-1

 N(4)=1,N(5)=3 なので、

 N(6)=2・3-1+[6/2]-1=7

 N(7)=2・7-3+[7/2]-1=13

  …………

 N(15)=2・161-125+[15/2]-1=203 ……(答)


[解答4] 再出発さんのコメントより

 ○ ○ ○─○─○─○ ○ ○─○─○─○ ○ ○ ○ ○ のように、

 団子 15個のうち、串に刺したものを2組(個数は同じ)を作って並べ、

 串に刺したものの端が何番目かを a,b,c,d とすれば条件に合うものが求まります。

 図の場合は、a=3,b=6,c=8,d=11 です。

 2個ずつ串に刺した場合の並べ方は、132=78 通り、

 3個ずつ串に刺した場合の並べ方は、112=55 通り、

 4個ずつ串に刺した場合の並べ方は、92=36 通り、

 5個ずつ串に刺した場合の並べ方は、72=21 通り、

 6個ずつ串に刺した場合の並べ方は、52=10 通り、

 7個ずつ串に刺した場合の並べ方は、32=3 通り、

 これらの合計は 203 通りになります。


[参考]

 一般に、a<b<c<d≦n とすると、

 b=c になる場合は、

  nが偶数のときは、n/22n/22=2・(n/2)(n/2-1)/2=n(n-2)/4 組、

  nが奇数のときは、

  (n-1)/22(n+1)/22={(n-1)/2}{(n-1)/2-1}/2+{(n+1)/2}{(n+1)/2-1}/2

  =(n-1)(n-3)/8+(n+1)(n-1)/8=(n-1)2/4 組 だから、

 nが偶数のとき e=0,nが奇数のとき e=1 とすると、

 b=c になる場合は、n(n-2)/4+e/4 通りです。

 従って、求める組数は、

 { n3-n(n-2)/4-e/4 }/2

  ={ n(n-1)(n-2)/6-n(n-2)/4-e/4 }/2=n(n-2){2(n-1)-3}/24-e/8

  =n(n-2)(2n-5)/24-e/8=[n(n-2)(2n-5)/24] になります。

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Comments 16

There are no comments yet.
古い人  
No title

サフランによく似ていますがオシベ雌しべが少し違いますね。

でもとても綺麗な花ですね。 ポチ。

黒翼  
No title

解法1の三角形は見事ですね.このような鮮やかな解法を思いついてみたいものです.

アキチャン  
No title

おはようございます。
きれいな色のお花ですネ (o^-^o)
ポチ♪

uch*n*an  
No title

地道にやって容易に答えが出たのと,最近少し忙しいので,あまり考えませんでしたが,
[解答1]はキレイ,[解答2]はなるほど,[解答3]は少し複雑ですがやはりなるほど,
という感じです。勉強になります。

ニリンソウ  
No title

サフランモドキですか~優しい色ですが毒性ですね。
ヒガンバナ科の花はみんなそうらしい!
ポチ!

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花は、ヨウラクユリ ルブラ マキシマ というそうです。
花の文化園という植物園で撮りました。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
解法1は私も考えたのですがこんな美しい三角形が現れるのは気づきませんでした。
いろいろな解法があるものですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
花の文化園という植物園で撮ったもので、地中海西部~パキスタンが原産だそうです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
簡単に解けてしまうとそれ以上考えないものですが、
「キレイ」が潜んでいることもあるものですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
毒性はどうか知りませんが、ユリ科の花だそうです。
世界にはポピュラーになっていない美しい花があるものです。

こっこちゃん  
No title

仲良く 寄り添って 紫の花

好きな 色です~~ ポチ

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
薄紫の花の色は私も好きです。上品な感じがします。

いっちゃん  
No title

こんばんは~
お花の名前覚えきれません^^
でもすてきな色合いですね。

以前もこういう形の解答がでたことを覚えています。
なんか美しいなぁ^^と思って眺めていました。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
この花の名前は難しいです。
花を撮ったあと、名札を撮っておかないと分からなくなります。

以前、こんな形の計算を載せたと思います。

ヤドカリ  
No title

tsu*o*hi*194*さん、コメントを有難う御座います。
[.......]記号は「ガウス記号」といって、中身以下の最大の整数を意味します。
従って、中身が正の数の場合は、小数切捨てを意味します。
[n(n-2)(2n-5)/24]は、
nが奇数のとき [自然数の答+0.125]=自然数の答
nが偶数のとき [自然数の答]=自然数の答
になります。

ヤドカリ  
No title

再出発さん、コメントを有難う御座います。
解答を追加しました。
なお、解答発表後は鍵コメントになさる必要はありません。