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[答205] 最大最小の差の期待値

ヤドカリ

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[答205] 最大最小の差の期待値


 1,2,3,……,40 の数が書かれたカードが1枚ずつ、合計40枚のカードがあります。

 この中から無作為に3枚のカードを取り出すときの、その最大数と最小数の差の期待値は?



[解答1] 再出発さんのコメントより

 最大、最小の差が 2 の時の大小2枚の選び方は、

  1, ,3 → 38, ,40 の38通り、中間数はそれぞれ 1 通り

 最大、最小の差が 3 の時の大小2枚の選び方は

  1, ,4 → 37, ,40 の37通り、中間数はそれぞれ 2 通り

    …………

 最大、最小の差が 39 の時の大小2枚の選び方は

  1, ,40 の 1 通り、中間数は 38 通り

 3枚のカードの選び方は 403 通りだから求める期待値は
      38
 E = Σ {n(39-n)(40-n)}/403 = 20.5 ……(答)
      n=1

[解答2]

 3つの数を a,b,c (a<b<c) とし、bの値で考えます。

 b=2 のとき、a=1 で c=3,4,……,40

   c の平均は 43/2 ,c-a の平均は 41/2 、

 b=3 のとき、a=1,2 で c=4,5,……,40

   a の平均は 3/2 ,c の平均は 44/2 ,c-a の平均は 41/2 、

 一般に、b=k (k=2,3,……,39)のとき

   a=1,……,k-1 で c=k+1,……,40

   a の平均は k/2 ,c の平均は (k+41)/2 ,c-a の平均は 41/2 になります。

 b の値にかかわらず、c-a の平均は 41/2 だから、その期待値も 41/2 になります。

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Comments 18

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
今日もきれいなお花・・ハイビスカス系かしら♪ (o^-^o)
凸♪

古い人  
No title

白い綺麗な花ハイビスカスの仲間ですね。

この時期温室でも花が少なくなって来ましたね。 ポチ。

tsuyoshik1942  
No title

203,204,205問
答は求められましたが、いまひとつすっきりしませんでした。
本問も、もやもやしていたのですが、解答「2」で解消しました。

ニリンソウ  
No title

白いハイビスカスも芯は赤だったんですね。
薄い花びらがよく撮れています、寒い日は温室咲きかな。 ポチ

いっちゃん  
No title

おはようございます~
ムクゲのようでムクゲじゃない。紅葉葵のようでそうじゃない。それは何かと尋ねたら・・・

ハイビスカスに詳しいみなみさんに聞きましよう。。
ハイビスカスって名前だけで暖かくなります。。ポチ

uch*n*an  
No title

私は,期待値の定義に従って計算しましたが,実質,[解答1]と同じでした。
しかし,結果からして何かありそうだな,とは思ったものの,
[解答2]は思い付きませんでした。なるほど,面白いですねぇ。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
花の文化園の温室で咲いていたと記憶しています。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ハイビスカスは何種類か咲いておりました。種類が多いのは楽しめますね。

ヤドカリ  
No title

tsu*o*hi*194*さん、コメントを有難う御座います。
スッキリして頂ければ、解答を書いている甲斐があります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
たまたま面白い構図になりました。PCの修理前に温室で撮ったと記憶しています。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
白の1重はムクゲのようですね。
寒くなると、屋外でこの時期に見られる地域に住むブログ友が羨ましいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私も、期待値が (n+1)/2 になることから何かあるなと思いました。
このブログが、ふと面白いことを思いつく場にできたら嬉しいです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
期待値苦手...^^;...
たとえば...
2枚選んだときの(最大値-最小値)の期待値は...
どうすれば求まるのでしょうか...?
直感的には...差は...1~39だから...(1+39)/2=20でいいような気もするのですが...気だけじゃねぇ...^^;;...
教えて下さい~m(_ _)m~

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
40枚から2枚選ぶ方法は 40C2=780通り、
差1は39通り、差2は38通り、…、差39は1通りだから、
1*39/780+2*38/780+…+39*1/780=41/3 になります。

スモークマン  
No title

やどかりさんへ ^^
なるほど...ありがとうございました ~m(_ _)m~v
計算しなきゃならないんだ...^^;...
少し推測してみました...^^...?
たぶん...
2枚選ぶとき=38枚選ぶとき
3枚選ぶとき=37枚選ぶとき
...
になるんですよね...?
1枚選ぶとき...=39枚選ぶとき=(2*38+38*39)/40=41*(38/40)になるはず...?
0枚選ぶとき=40枚選ぶとき=39=41*(39/41)

ってことは...
f(k)=41*(k-1)/(k+1)
になりそう...?

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
確かにn枚からk枚を選んで、最大-最小 の期待値を計算すると、
(n+1)(k-1)/(k+1) になりますが、
一般的に証明するには計算が大変です。面倒なので避けました。

rosastone  
No title

稚拙な解き方ですが、私もギリギリ間に合いました…(^^;)。。。
解答2の方は、読んでたらなるほど…と思うけど、こういうのは絶対に思いつかないですね。
勉強になりました♪

やどかりさんは、この前PC故障で大変だったですね。
私のこのPCも、近頃また正常に起動しないことがちょくちょくあって調子悪いです。
1年前もそんな風になって、いつの間にか持ち直していたのですが。。
ということで、今日は朝からデータのバックアップを更新しておきました^^

ヤドカリ  
No title

ローザさん、コメントを有難う御座います。
バックアップは大切です。私の場合、バックアップしておけばそのままHDDをとりかえてもらって、2週間強ですんだはずです。