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[答206] 弦の長さ

ヤドカリ

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[答206] 弦の長さ


 図のように、半径25の円の一部でできた弓形に、半径10と半径6の円が内接し、

 この2円は外接しています。この弓形の弦の長さは?

 なお、図は正確ではありません。



[基本事項]

 2円が外接するとき、中心間の距離=半径の和

 2円が内接するとき、中心間の距離=半径の差


[解答1] この数値だからうまくいく方法

 弓形の弧をつくる円の中心をO,半径10の円の中心をP,半径6の円の中心をQ とします。

 OP=25-10=15, OQ=25-6=19, PQ=10+6=16 になります。

 余弦定理より、cos∠OPQ=(152+162-192)/(2・15・16)=1/4、

 QからOPに下した垂線の足をHとすれば、PH=PQcos∠OPQ=16・1/4=4 になります。

 これは内部の2円の半径の差だから、弓形の弦⊥OPになります。

 また、Oと弦の距離は、OP-10=15-10=5 だから、

 従って、弦の長さ=2√(252-52)=20√6 です。


[解答2] 一般的な解法( uch*n*anさんのコメントを参考に )

 弓形の弧をつくる円の中心をO,内部の2円の中心をP,Q とします。

 また、円O,P,Q の半径をそれぞれ、r,p,q とします。

 更に、Oを原点、弓形の弦をx軸に平行に xy平面上におき、

 弦の方程式を y=a とし、P(b,a+p),Q(c,a+q)とします。

 OP=r-p より b2+(a+p)2=(r-p)2、b2=(r+a)(r-a-2p) 、

 OQ=r-q より c2+(a+q)2=(r-q)2、c2=(r+a)(r-a-2q) 、

 PQ=p+q より (b-c)2+(p-q)2=(p+q)2、b2+c2-4pq=2bc 、

 よって、(r+a)(2r-2a-2p-2q)-4pq=2bc 、(r+a)(r-a-p-q)-2pq=bc 、
 
 2乗して、{(r+a)(r-a-p-q)-2pq}2=b2c2
 
 {(r+a)(r-a-p-q)-2pq}2=(r+a)2(r-a-2p)(r-a-2q) 、
 
 (r+a)2(r-a-p-q)2-4pq(r+a)(r-a-p-q)+4p2q2=(r+a)2(r-a-2p)(r-a-2q) 、

 (r+a)2{(r-a-p-q)2-(r-a-2p)(r-a-2q)}-4pq(r+a)(r-a-p-q)+4p2q2=0 、

 (r+a)2(p-q)2-4pq(r+a){-(r+a)+2r-p-q}+4p2q2=0 、

 (p+q)2(r+a)2-4pq(2r-p-q)(r+a)+4p2q2=0 となって、

 解の公式により、r+a=2pq{2r-p-q±2√r(r-p-q)}/(p+q)2 です。

 また、r-a=2r-(r+a) になり、弦の長さは 2√(r+a)(r-a) で求められます。

 これ以上、文字のまま計算すると複雑な式になりますので、………

 本問の場合、r=25,p=10,q=6 だから、r+a=120(34±30)/256=30,15/8 、

 r+a=30 のとき、r-a=20、弦の長さは、2√(30・20)=20√6 になり、

 r+a=15/8 のとき、r-a=385/8、弦の長さは、2√(15/8・385/8)=(5/4)√231 になります。


☆ (5/4)√231 は半円より小さい弓形だけを想定していた出題者の想定外の答です。

 右下の図のようになります。 uch*n*anさんの指摘により、加えました。


☆ 文字のまま計算した複雑な式は以下の通りです。

 A=2pq(p+q)+r(p-q)2 ,B=r(r-p-q) として、

 弦の長さ=2√{(r+a)(r-a)}=4√(pq)√{pq(p+q)2+A(2r-p-q)±2A√B)} / (p+q)2

 このうち、半円より小さい弓形は、複号の+の方です。

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Comments 14

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古い人  
No title

此花を見ると沖縄を思い出しますね。

二月に沖縄に行った時外で咲いてましたよ。

種類も多くて綺麗ですね。 ポチ。

アキチャン  
No title

おはようございます。
これも、温かい日に撮られたハイビスカスですね (o^-^o)
今日は雨で、冷たいので お花を見れてうれしくなります♪ポチ♪

いっちゃん  
No title

おはようございます^^
赤いハイビスカスはポピュラーですね。
赤い花の色は観てるだけで元気になります。。ポチ

uch*n*an  
No title

[解答1]は,簡単ですが,確かにこの数値だからできる解法ですね。
ただ解く方としては,解が一つかどうかを確認してからでないと,
抜けがないかどうか,ちょっと恐い解法でもあります。

ニリンソウ  
No title

暖かそうな陽射しが降り注いで雪のない地方はいいですね。 ハイビスカスが地で咲くなんて!
ポチ

こっこちゃん  
No title

南国育ちの

ハイビスカス 未だ元気ですね~~ ポチ

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
植物園の温室近くで、ハイビスカスがかたまって咲いていたので撮りました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
まだ暖かで穏やかな日に植物園で沢山の花を撮りました。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ポピュラーですが、赤い花は見慣れたいろで、ハイビスカスに似合いの色と思います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
問題図は、大きな円に小さい円2つが内接し、
中心に近い共通外接線で弓形を作ることを想定していましたので、
解が1つだと疑いませんでした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
10月に撮った写真ですので、ハイビスカスには十分な気温でした。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
10月に撮りました。今、写真を見ても、元気なハイビスカスだったと思います。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
忘年会のアルコールを飛ばすために病院でビバーグしてます...^^;
10時には帰ったので...余り飲めない私なもので...ビール2杯くらいだけだから...3時頃なら飲酒OKだろうって...?
家まで遠いのよね...^^;...

この問題は...まったくお手上げでした...悔しいけれど...^^;...
解法の1も気づかず...解法2にいたっては...手も足もでないわたし...口だけはいつも出してますけど...Orz...
算額に出題されててもよさそうな奇麗な問題ですね♪

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
算数はいいすぎかも知れませんが、円をうまく組み合わせるといろんな問題が出来そうです。