FC2ブログ

Welcome to my blog

[答207] 最短の斜辺の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ



[答207] 最短の斜辺の長さ


 AB=48,BC=40,CA=32 の△ABCがあって、辺BA上にP,辺BAの延長上にQ をとって、

 ∠PCQ=90°になるようにします。

 0<BP<30 として、PQの長さの最小値は?


[解答1]

 BP=x (0<BP<30) とします。

 余弦定理より、

 cos∠B=(482+402-322)/(2・48・40)=3/4 、

 PC2=402+x2-2・40・x・cos∠B=x2-60x+1600 です。

 更に、

 cos∠BPC=(x2+PC2-402)/(2xPC)

   =(x2+x2-60x+1600-402)/(2xPC)

   =(x-30)/PC

 cos∠QPC=-cos∠BPC=(30-x)/PC

 また、cos∠QPC=PC/PQ より、

 PQ=PC/cos∠QPC=PC2/(30-x)=(x2-60x+1600)/(30-x)

  ={(30-x)2+700}/(30-x)=(30-x)+700/(30-x)

 相加・相乗平均の関係により、

 PQ≧2√{(30-x)・700/(30-x)}=20√7 、これが PQの最小値になります。


[解答2]

 CからABに垂線CHをおろすと、

 △CPH∽△QCH より、CH:QH=PH:CH、PH・QH=CH2x になります。

 相加・相乗平均の関係により、PQ=PH+QH≧2√(PH・QH)=2CH です。

 また、[解答1]のように、cos∠B=3/4 だから、sin∠B=(√7)/4 、

 BH=BCcos∠B=40・3/4=30 ,AH=18 ,CH=BCsin∠B=40・(√7)/4=10√7 です。

 よって、PH=10√7 を満たすPが辺BA上に、QH=10√7 を満たすQが辺BAの延長上にとれて、

 PQ=2CH=20√7 、これが PQの最小値になります。


[解答3]

 CからABに垂線CHをおろし、PQの中点をMとすると、MP=MQ=MC だから、

 MがHと一致するとき、MCが最小になります。

 このとき、PQ=2MC=2HC で、[解答2]のように条件を満たすP,Qがとれて、

 PQ=2CH=20√7 、これが PQの最小値になります。


☆ 直角二等辺三角形のときに最小になるのは、当然と言えば当然ですね。

.

スポンサーサイト



Comments 18

There are no comments yet.
こっこちゃん  
No title

おはyぷございます
いつも訪問ありがとうございます

今日の花 清楚な白ですね ”名前は? ポチ

アキチャン  
No title

おはようございます。
私も植物園で撮った事があるような~~です f(^_^;
キレイですネ (o^-^o) ポチ♪

ニリンソウ  
No title

ウ~~ン!! なんでしょうね。
さっぱり見当もつかない白い花、葉がつやつや綺麗です。 ポチ

いっちゃん  
No title

こんにちは。。
君の名は?笑

クリスマスが近いですがこの白い花が似合いそうです。。
ポチ

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花はバルレリア・カンディダというそうです。温室内で観ました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
貴女も植物園で撮った事があるのですか、植物園には珍しいのがありますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
キツネノマゴ科の花で、バルレリア・カンディダというそうです。
私は白い花が好きです。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私の感覚では、クリスマスといえばポインセチア。
仰る通り、白い花も似合いそうですねっっ。

古い人  
No title

こんばんは、遅くなりました。

いつも暇な人ですが今日明日少し用事です。

白い花どこかで見たような花ですね。

此の頃の変わった花はみな新しい花ばかりですね。 ポチ。

tsuyoshik1942  
No title

206,207問
206問:三つの円の中心O,P,Qを結んだ三角形において、QからOPへ垂線QHを下ろし、二つの直角三角形に三平方を適用し、PH=4であることを求め、円Pが弦の真ん中の真上にあることを捉えました。(解法1と90%同じ)
207問:三角形ABCにおいて、CからABへ垂線CHを下ろし、206問と同じく二つの直角三角形に三平方を適用し、CHを求め、それを2倍して答としました。
このように、自分の解法は206と207で全く同じでしかも答の姿が
20*√6と20*√7と同じだったので、勝手に感じ入っておりました。

206問の二番目の答はまったく気がつきませんでした。ただ、今回の問題に限れば、一つの答でも許されるような気がしますが。
207問の直角二等辺三角形の件は自明かとも思いましたが、自分はPQの中点をMとすれば、PQ=2*CMからCMを最短にすればよく、それはCMを垂線にとることだと考えました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントとポチを有難う御座います。
このごろ 10月に植物園で撮ったものを使っておりますので、珍しいのは多いと思います。

ヤドカリ  
No title

tsu*o*hi*194*さん、コメントを有難う御座います。
答えの形が同じになったのは偶然です。
206問の二番目の答は私も意図していませんでした。
内部の2円の共通外接線のうち、外の円の中心に近い方だけを想定していました。
問題図もそのように描きました。
207問の直角二等辺三角形の件は、自明といえばそうなのですが、
何故?と言われれば、きちんとした説明が必要でしょう。

uch*n*an  
No title

>何故?と言われれば、きちんとした説明が必要でしょう。
tsu*o*hi*194*さんの説明で十分ではないのですか?
初等幾何っぽい解法として解答に取り上げてもいいのでは?

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
言葉足らずで誤解を与えたようで申し訳ありません。
「何故?と言われれば、きちんとした説明が必要でしょう」
は、「自明」だけで説明を省略した場合のことを言っただけで、
tsu*o*hi*194*さんの説明に対してのものではありません。

なお、仰る通り、初等幾何っぽい解法も必要かと思い、追加しました。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
わたしも解法3に気づけました ^^v
tsu*o*hi*194さんと同じでしたのね♪
図形的に考えるとすっきりしますね♪
じっさいは...とろいから...気づくまで時間かかったり...^^;...

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
解法3では、sinB=(√7)/4 または BC>(√2)CH で、∠B<45°を示して、
Pが辺BA上にあることを断わっておくほうがいいかもしれません。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
意味了解!!
そうでないと...
P が...Bの外側にしか取れなくなっちゃうからですね♪
図ってのは...その意味で...微妙にデフォルメされちゃうから...
騙される可能性があるわけだ...^^;...v

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
↑の解答ももう少し厳密に書き直す方がいいかも知れません。
時間があれば、書き直します。