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[答209] 極限の点の座標

ヤドカリ

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[答209] 極限の点の座標


 図のように、xy平面上で、P0(0,0),P1(7,0) とします。

 n=1,2,3,…… として、

 Pn-1Pn を反時計回りにθ回転し、1/2 倍に縮小したものが PnPn+1 になるように、

 P2, P3, P4,…… を次々にとります。

 その極限が限りなく点(5,√3)に近づくときの角θは?

 θは最小の正の角で答えて下さい。



[解答1]

 X=1+2-1cosθ+2-2cos2θ+2-3cos3θ+2-4cos4θ+……

 Y=2-1sinθ+2-2sin2θ+2-3sin3θ+2-4sin4θ+……

 の収束を前提にすると、7X=5 ,7Y=√3 になります。

 4X=4+2cosθ+cos2θ+2-1cos3θ+2-2cos4θ+2-3cos5θ+……

 4X-4-2cosθ=cos2θ+2-1cos3θ+2-2cos4θ+2-3cos5θ+……

 ここで、cos(k-1)θ+cos(k+1)θ=2coskθcosθ を利用して、

 X+(4X-4-2cosθ)=2cos2θ+cos2θcosθ+2-1cos3θcosθ+2-2cos4θcosθ+……

 5X-4-2cosθ=4cosθ(2-1cosθ+2-2cos2θ+2-3cos3θ+2-4cos4θ+……)

 5X-4-2cosθ=4(X-1)cosθ 、cosθ=(5X-4)/(4X-2) 、

 X=5/7 として、cosθ=-1/2 です。

 4Y=2sinθ+sin2θ+2-1sin3θ+2-2sin4θ+2-3sin5θ+……

 4Y-2sinθ=sin2θ+2-1sin3θ+2-2sin4θ+2-3sin5θ+……

 ここで、sin(k-1)θ+sin(k+1)θ=2sinkθcosθ を利用して、

 Y+(4Y-2sinθ)=2sinθcosθ+sin2θcosθ+2-1sin3θcosθ+2-2sin4θcosθ+……

 5Y-2sinθ=4cosθ(2-1sinθ+2-2sin2θ+2-3sin3θ+2-4sin4θ+……)

 5Y-2sinθ=4Ycosθ 、sinθ=(5-4cosθ)Y/2 、

 Y=(√3)/7 ,cosθ=-1/2 として、sinθ=(√3)/2 です。

 従って、θ=2π/3 となります。


[解答2]

 複素平面上で考えると、

 初項が 7 で、公比が (cosθ+i・sinθ)/2 の無限等比級数の和が 5+i√3 になります。

 7/{1-(cosθ+i・sinθ)/2}=5+i√3、

 1-(cosθ+i・sinθ)/2=7/(5+i√3)=(5-i√3)/4、

 (cosθ+i・sinθ)/2=1-(5-i√3)/4=(-1+i√3)/4、

 cosθ+i・sinθ=-1/2+i(√3)/2、

 従って、θ=2π/3 となります。


[解答3]

 P(5,√3) とします。P0(0,0),P1(7,0) ですので、 PP0=2√7, PP1=√7,P0P1=7 です。

 また、余弦定理より、cos∠P0PP1={(2√7)2+(√7)2-72}/(2・2√7√7)=-1/2 、∠P0PP1=2π/3 です。

 次に、△PP0P1 をPを中心にθ回転し 1/2 倍すれば△PP1P2 になるから、△PP0P1∽△PP1P2 になって、

 θ=∠P0P1P2の外角=π-∠PP1P0-∠PP1P2=π-∠PP1P0-∠PP0P1=∠P0PP1=2π/3 です。

.

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Comments 18

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スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
解法3には...気づきたかったなぁ^^;...
お気に入り♪

アキチャン  
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おはようございます。
可愛いのに 高貴な色のお花ですネ (o^-^o)
ポチ♪

古い人  
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綺麗な紫どこかで見たようですね。

思い出せないね。 ポチ。

いっちゃん  
No title

おはようございます。
この花も公園に咲いていたのですか?

問題を見たときに「逆さまのさそり座」に似てるって
思いました。変なこと書くな・・と思われたかも。。笑
ポチ

黒翼  
No title

個人的には,解法2が好きですね.

問題を見た瞬間に挫折してしまいましたが,解答を見ると納得します.

僕もまだまだですね.

uch*n*an  
No title

ちなみに,2π/3 = 2.094…,なんですよね。初めて知りました (^^;

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
極限は収束することを前提にすれば、割に簡単に解けることがあります。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花も花の文化園で撮ったものです。紫色もたまにはいいです。

ヤドカリ  
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古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花は、ツンベルギア・エレクタというキツネノマゴ科の花です。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
「花の文化園」の花です。
長さの比や角を変えると、問題の図はアンモナイトや巻貝のようなものになります。
サソリの尻尾も同じようなものかも知れません。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
複素平面を知っていれば解法2が最も簡単だと思います。
まだまだと仰らないで、どんどん解いて下さいね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
2π/3 = 2.094… は普通計算しませんよね。
60゚は 1rad強ですので、120゚をこの辺で使おうと思って作問しました。

ニリンソウ  
No title

今日の花も名前は知りません。
青紫の高貴な色が素敵ですね。

難しい問題出しながら添えてくれる花にいつも感謝です
ポチ

いっちゃん  
No title

♪アンモナイトの姿はちょろが寝るときの
得意な姿勢です^^♪

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
この花は、ツンベルギア・エレクタという花で、アフリカ原産のようです。
PCで調べました。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントを有難う御座います。
猫はコタツで丸くなるってことですね。

tsuyoshik1942  
No title

解いたというより答を見つけました。
最後の拠りどころは、120度=2.09...radでした。

ヤドカリ  
No title

tsu*o*hi*194*さん、コメントを有難う御座います。
まあ、単純な答になるような角は限られますから、見つかる可能性も高いですね。