[答210] 三角数と矩形数

[答210] 三角数と矩形数


　三角数とは、三角形の形に点を並べたときにそこに並ぶ点の総数のことで、

　ｎ番目の三角数は、１からｎまでの自然数の和 1＋2＋3＋……＋n になります。

　三角数を小さいものから順に列記すると 1，3，6，10，15，21，28，36，…… です。

　三角数を２倍した数を矩形数といいます。

　矩形数とは、縦と横の列の数が1つだけ違う長方形の形に点を並べたときにそこに並ぶ点の総数のことで、

　ｎ番目の矩形数は２からｎ番目までの偶数の和 2＋4＋6＋……＋2n になります。

　矩形数を小さいものから順に列記すると 2，6，12，20，30，42，56，72，…… です。

　三角数であり、矩形数であるものを小さい順に列記すると、

　6，□，□，242556，8239770，279909630，…… です。 ２つの□に該当する数は？


[解答1]

　ｍ番目の三角数とｎ番目の矩形数が等しいとすると、

　m(m＋1)/2＝n(n＋1) 、4m²＋4m＋1＝8n²＋8n＋2－1 、(2m＋1)²－2(2n＋1)²＝－1

　https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-107.html より、

　(2m＋1，2n＋1)＝(1，1)，(7，5)，(41，29)，(239，169)，(1393，985)，(8119，5741)，…… で、

　(m，n)＝(0，0)，(3，2)，(20，14)，(119，84)，(696，492)，(4059，2870)，…… です。

　従って、m(m＋1)/2＝n(n＋1)＝0，6，210，7140，242556，8239770，…… 、

　□に該当するのは、210，7140 です。


[解答2] uch*n*anさんのコメントより

　n(n＋1)/2＝m(m＋1)，2n(n＋1)＝4m(m＋1)，n²＋(n＋1)²＝(2m＋1)²

　これは，|b－a|＝1 を満たす a²＋b²＝c² というピタゴラス数です。

　[答34] 長方形と円 #2 ( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-102.html ) に解説があり，

　(a，b，c)＝(3，4，5) から始めて，(a，b，c)→(a＋2b＋2c，2a＋b＋2c，2a＋2b＋3c)で求まります。

　(3，4，5)→(21，20，29)→(119，120，169)→(697，696，985)→ ……

　これに対して，三角数であって矩形数となるのは， (c²－1)/4 を計算して，

　6，210，7140，242556，…… になります。

☆ この斜辺ｃの値を c₁，c₂，c₃，…… は、次の漸化式で求められます。

　c₀＝1， c₁＝5， c_n+1＝6c_n－c_n-1


[参考] 25番目までのリストです。

　(1) 6 　(2) 210 　(3) 7140 　(4) 242556 　(5) 8239770 　(6) 279909630 　(7) 9508687656
　(8) 323015470680 　(9) 10973017315470 　(10) 372759573255306 　(11) 12662852473364940
　(12) 430164224521152660 　(13) 14612920781245825506 　(14) 496409142337836914550
　(15) 16863297918705209269200 　(16) 572855720093639278238256 　(17) 19460231185265030250831510
　(18) 661075004578917389250033090 　(19) 22457089924497926204250293556
　(20) 762879982428350573555259947820 　(21) 25915462312639421574674587932330
　(22) 880362838647311982965380729751406 　(23) 29906421051695967999248270223615480
　(24) 1015937952919015599991475806873174920 　(25) 34511983978194834431710929163464331806