FC2ブログ

Welcome to my blog

[答210] 三角数と矩形数

ヤドカリ

ヤドカリ



[答210] 三角数と矩形数


 三角数とは、三角形の形に点を並べたときにそこに並ぶ点の総数のことで、

 n番目の三角数は、1からnまでの自然数の和 1+2+3+……+n になります。

 三角数を小さいものから順に列記すると 1,3,6,10,15,21,28,36,…… です。

 三角数を2倍した数を矩形数といいます。

 矩形数とは、縦と横の列の数が1つだけ違う長方形の形に点を並べたときにそこに並ぶ点の総数のことで、

 n番目の矩形数は2からn番目までの偶数の和 2+4+6+……+2n になります。

 矩形数を小さいものから順に列記すると 2,6,12,20,30,42,56,72,…… です。

 三角数であり、矩形数であるものを小さい順に列記すると、

 6,□,□,242556,8239770,279909630,…… です。 2つの□に該当する数は?


[解答1]

 m番目の三角数とn番目の矩形数が等しいとすると、

 m(m+1)/2=n(n+1) 、4m2+4m+1=8n2+8n+2-1 、(2m+1)2-2(2n+1)2=-1

 https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-107.html より、

 (2m+1,2n+1)=(1,1),(7,5),(41,29),(239,169),(1393,985),(8119,5741),…… で、

 (m,n)=(0,0),(3,2),(20,14),(119,84),(696,492),(4059,2870),…… です。

 従って、m(m+1)/2=n(n+1)=0,6,210,7140,242556,8239770,…… 、

 □に該当するのは、210,7140 です。


[解答2] uch*n*anさんのコメントより

 n(n+1)/2=m(m+1),2n(n+1)=4m(m+1),n2+(n+1)2=(2m+1)2

 これは,|b-a|=1 を満たす a2+b2=c2 というピタゴラス数です。

 [答34] 長方形と円 #2 ( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-102.html ) に解説があり,

 (a,b,c)=(3,4,5) から始めて,(a,b,c)→(a+2b+2c,2a+b+2c,2a+2b+3c)で求まります。

 (3,4,5)→(21,20,29)→(119,120,169)→(697,696,985)→ ……

 これに対して,三角数であって矩形数となるのは, (c2-1)/4 を計算して,

 6,210,7140,242556,…… になります。

☆ この斜辺cの値を c1,c2,c3,…… は、次の漸化式で求められます。

 c0=1, c1=5, cn+1=6cn-cn-1


[参考] 25番目までのリストです。

 (1) 6  (2) 210  (3) 7140  (4) 242556  (5) 8239770  (6) 279909630  (7) 9508687656
 (8) 323015470680  (9) 10973017315470  (10) 372759573255306  (11) 12662852473364940
 (12) 430164224521152660  (13) 14612920781245825506  (14) 496409142337836914550
 (15) 16863297918705209269200  (16) 572855720093639278238256  (17) 19460231185265030250831510
 (18) 661075004578917389250033090  (19) 22457089924497926204250293556
 (20) 762879982428350573555259947820  (21) 25915462312639421574674587932330
 (22) 880362838647311982965380729751406  (23) 29906421051695967999248270223615480
 (24) 1015937952919015599991475806873174920  (25) 34511983978194834431710929163464331806

スポンサーサイト



Comments 12

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
これは 見たことがある、と思っても名前はわかりませんが f(^_^;
きれいですネ♪ ポチ♪

古い人  
No title

此れはアナナスでパイナップル系の植物ですね。

此れは葉にも柄があり綺麗ですね。

温室がないと咲きませんね。 ポチ。

黒翼  
No title

解答2はなんだか意外性がありますね.

目からウロコです.傑作押します.

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
赤い花がお好きでしたね。「花の文化園」の温室で見ました。
太平洋の島々に咲くアルピニア・プルプラタ(別名 Red Ginger)だそうです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
アルピニア・プルプラタは、ショウガ科アルピニア属科の多年生草本だそうです。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントとポチを有難う御座います。
解答2は私も考えていたことですが、
恥ずかしながらどこで記事にしたかを失念していました。
uch*n*anさんの鍵コメントでどこに載せたかを確認できました。

ニリンソウ  
No title

真っ赤なお花は温室育ち、ぬくぬくと穏やかに
楽しそうに並んでいますね。
寒い国から覗くとホッとします。
ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
真っ白な世界に住んでおられるニリンソウさんらしいコメントですね。
逆ポチしたいです。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
赤い花が印象的です^^
お花やさんで、小さいパンナッピルのついたものを
買ったことがあって葉っぱだけ植木鉢に挿していたら
枯れずに元気です^^生命力の強さにびっくりです。
ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
南国の赤い花は情熱的にみえます。生命力も強そうですね。

tsuyoshik1942  
No title

答は求まっても、実体をつかめていない問題の一つです。
読み重ね、消化に努めます。

楽しませていただき、ありがとうございました。
良いお年を!

ヤドカリ  
No title

tsu*o*hi*194*さん、コメントを有難う御座います。
ペルの方程式は難しいですね。