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[答211] 三角形の角の比

ヤドカリ

ヤドカリ



[答211] 三角形の角の比


 ∠A=92゚ の △ABC があって、∠Bの二等分線と辺ACの交点をDとすると、

 AB+CD=BC となりました。この△ABCにおいて、∠B:∠C=?

 図は正確ではありません。


[解答1]

 BDに関してAと対称な点をEとすると、△EBD≡△ABD だから、BE=BA 、∠BED=∠BAD=92゚ 。

 また、AB+CD=BC だから、CD=CE になります。

 ここで、∠B=2b゚,∠C=2c゚ とすると、

 ∠BED+∠CED=180゚ より、92+90-c=180 、

 △ABCの内角は、92+2b+2c=180 、

 この2式より、b=42,c=2 、∠B:∠C=2b:2c=b:c=42:2=21:1 になります。

☆ ∠BED=∠BAD=2a゚ とすれば、

 b=180-3a,c=2a-90 となって、∠B:∠C=3(60-a):2(a-45) です。

 従って、問題が成立するためには、45<a<60、すなわち、90゚<∠A<120゚ が必要です。


[解答2] 三角関数練習用の解答(uch*n*anさんのコメントより)

 ∠B=2x,∠A=a として,

 △ABC に正弦定理を適用して,AB/sin(2x+a)=BC/sin(a),AB/BC=sin(2x+a)/sin(a)

 △DBC に正弦定理を適用して,CD/sin(x)=BC/sin(x+a),CD/BC=sin(x)/sin(x+a)

 AB+CD=BC より,AB/BC+CD/BC=1,

 sin(2x+a)/sin(a)+sin(x)/sin(x+a)=1

 sin(2x+a)sin(x+a)+sin(x)sin(a)=sin(x+a)sin(a)

 sin(x+a){sin(2x+a)-sin(a)}+sin(x)sin(a)=0

 2sin(x+a)cos(x+a)sin(x)+sin(x)sin(a)=0

 {sin(2x+2a)+sin(a)}sin(x)=0

 2sin(x+3a/2)cos(x+a/2)sin(x)=0

 0゚<x<90゚,0゚<a<180゚,0゚<2x+a<180゚ なので,

 0゚<x+a/2<90゚,0゚<x+3a/2<270゚より,

 sin(x+3a/2)=0,x+3a/2=180゚,x=180゚-3a/2

 ∠B=2x=360゚-3a=360゚-3∠A ,∠C=180゚-(∠A+∠B)=180゚-(360゚-2∠A)=2∠A-180゚

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Comments 16

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夕顔  
No title

ふむー。点Eは見つけたのに合同を忘れてました^^;
良いお年を~^^

いっちゃん  
No title

あれ?
この花も観たことあるのに名前が浮かびません。
ボケの花でもあるまいし。。ボケてるのは私でした^^
ポチ

ヤドカリ  
No title

夕顔さん、早速のコメントを有難う御座います。
日本に住んでいる私の方が2時間早く新年を迎えることになります。
お互い、良い年にしたいものです。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
イエローマジェスティというメキシコ原産のサルビアです。
今年も沢山のコメントを有難う御座いました。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
いよいよ今年も大晦日になっちゃいました...
あっと間の1年でしたけど...ここでたんまりと遊ばせていただけました♪
来年もよろしく~お願い申し上げます~(何回も言ってるか...^^;)...
きっと来年はちょんぼもますます磨かれて行くのだと思いますが...Orz~v

P.S....
ちと...頭をかすめた...ゴールドバッハの予想を考えて起きてました...
どこかおかしいんだと思ってます...お時間あれば...ご指摘くだされば嬉しいです~m(_ _)m~...

古い人  
No title

サルビアの種類ですか?

古い人頭に入り切らないほど勉強させて貰いました感謝します。

新しい年も又勉強させて下さい、お願いします。

好いお年を迎えて下さいね。 ポチ。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントを有難う御座います。
貴殿の多くのコメントがこのブログを支えてくれています。
来年もよろしくお願いします。

ゴールドバッハの予想については、私にとって難しすぎます。
これに手出しすると多くの時間を費やして何も分からないことになりそうです。

アキチャン  
No title

おはようございます。
こちら、雪が降って来ました!
寒い大晦日になってしまいました f(^_^;
よいお年を・・・ぽち

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私は、気に入って撮った花を、数学の記事の息抜きに入れているだけです。
花の名前が分かればよし、教えてもらえれば有難い、といったところでしょうか。
新年もどうぞよろしく。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
名古屋は日本海から太平洋への風の通り道だから雪が多いそうですね。
こちらはまだですが、雪の予報です。

新年もどうぞよろしく。

ニリンソウ  
No title

予報に反して穏やかな暮れです!
夕べの雪は少しありますが2年詣りにみんなで行けそう。
野の花ですね、得意なはずなのに~思い出せない!
新しい年もどうぞよろしくね。
ポチ

黒翼  
No title

この問題は,解答1が圧倒的にやりやすいですね.

僕の方法も解答1でした.

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
メキシコ原産のサルビアです。
言われてみると山野草にも見えます。キケマンのようですね。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
普通は解答1ですが、解答2を載せたのは、
三角関数の復習になる問題だということがuch*n*anさんの指摘で分かったからです。

いっちゃん  
No title

サルビアでしたか。。
白く咲いてるとなんだか違う花にみえますね^^
ありがとう♪

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントを有難う御座います。
私も違う花のように思いました。花はいろいろあるものですね。
今年もよろしくお願いします。