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[答212] 3桁の回文数の2乗

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答212] 3桁の回文数の2乗


 3桁の自然数を2乗すると、5~6桁の数になります。

 もとの3桁の自然数もその2乗も回文数になるときの、もとの数は?

 答は5つあります。


[解答]

 もとの自然数を 101a+10b (1≦a≦9,0≦b≦9)とします。

 √100000=316.2…… だから、

 101a+10b≦316 の場合と 101a+10b≧317 の場合に分けて考えます。

 101a+10b≦316 の場合

  (101a+10b)2=10201a2+2020ab+100b2 だから、

  ab≧5 の場合は、万の位と一の位が異なるので、ab≦4 、

  2a2+b2≧10 の場合は、千の位と十の位が異なるので、2a2+b2≦9 、

  従って、(a,b)=(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1)、実際、

  1012=10201,1112=12321,1212=14641,2022=40804,2122=44944

  になります。

 101a+10b≧317 の場合

  2乗すると6桁になり、6桁の回文数は 11 の倍数だから、もとの3桁の数も 11 の倍数です。

  101a+10b≡2a-b (mod 11) が 11 の倍数であることが必要です。

  3≦a≦9,0≦b≦9 より 6≦2a≦18,-9≦-b≦0 だから、-3≦2a-b≦18 となって、 

  2a-b=0,11 、(a,b)=(3,6),(4,8),(6,1),(7,3),(8,5),(9,7)、

  3632,4842,6162,7372,8582,9792

  は、いずれも、一の位と十万の位が異なり、回文数になりません。


[参考1] 再出発さんのコメントのポイント

 6桁の回文数で、3桁の回文数の2乗になるものが存在しないことは、

 再出発さんが、次のように分かりやすく示してくれましたので、加筆しておきます。

   3□32=□□□□□9<160000

   4□42=□□□□□6<250000

   5□52=□□□□□5<360000

   6□62=□□□□□6<490000

   7□72=□□□□□9<640000

   8□82=□□□□□4>640000

   9□92=□□□□□1>810000

 いずれも、一位と十万位を比較して、このような回文数が存在しないことは明らかです。


[参考2] 6桁の回文数で平方数になる数は、8362=698896 だけです。

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Comments 20

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uch*n*an  
No title

これと n^2 < 1000000 を考慮して,n^2 の最上位桁と最下位桁の数字を比較すると,
a >= 4 と a = 3 で n^2 が 6 桁はありえず,a = 3 で n^2 が 5 桁の場合も。
3 桁目が 18 + b^2 なので必ず繰上りがあって 4 桁目と 2 桁目の数字が一致しません。
そこで,a = 1, 2 と決まります。後は実際に計算をしてもいいですが,
今までと同様の議論を繰り返してもよく,そうすると,
a = 2,n^2 = (4)(4b)(8 + b^2)(4b)(4),b = 0, 1
a = 1,n^2 = (1)(2b)(2 + b^2)(2b)(1),b = 0, 1, 2
となり,n = 101, 111, 121, 202, 212 の 5 個,と分かります。

黒翼  
No title

6桁の回文数は一つもないのですね.

繰り上がりをしても回文数になる場合も考えましたが,展開した式から考えても,あり得ないようですね.

黒翼  
No title

>uch*n*anさん

僕のようなものがこんな事を言うと気に障るかもしれませんが,6桁の場合の調べ方は僕と同じですね.

ヤドカリさんのように,6桁の回文数が11の倍数である事を利用する方法もあるのですね.

uch*n*an  
No title

>僕のようなものがこんな事を言うと気に障るかもしれませんが,
いえいえ,そんなことはありませんよ。コメントをありがとうございます。
>6桁の場合の調べ方は僕と同じですね.
個人的には,この方が自然な考え方だと思います。

>ヤドカリさんのように,6桁の回文数が11の倍数である事を利用する方法もあるのですね.
確かに。ただ,11 の倍数ということを導入しても,手間は対して変わらないように思います。
まぁ,ここらは,個人的な感触に過ぎませんが。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、詳しい解答とコメントを有難う御座います。
3桁の回文数の2乗となる6桁の回文数については、解答をよせてくれた方が、同様な、
十万の位と一の位の比較で、あり得ないことを示してくれていました。
ただ、簡潔な文で十分な説明にするのが難しく、11の倍数で対象を6個に絞りこんで、
全部を検討する方が文句のつけようのないものになると思って上記のような解答にしました。
もちろん、11の倍数であることは知っていないと中々使えませんので、参考として、
私がもっとも分かりやすいと思った、再出発さんの解答を、更に簡潔にして加えました。
寄せられた解答にも11の倍数であることを使ったものはありませんでした。
11の倍数ということを導入すると手間が省ける問題を作るべきだったと反省しています。

古い人  
No title

カトレアの花綺麗ですね。

花の女王と言われるだけあり色も香りも最高ですね。 ポチ。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
偶数桁の回文数は11の倍数です。
もとの3桁の数が回文数でないものを含めて、
317~999 の11の倍数62個のうち、2乗して6桁の回文数になるのは、
十万の位と一の位が違うものを除くと9個に絞られて、
最終的に 836^2=698896 だけになります。
このことはエクセルでも使えば簡単に確かめられます。

uch*n*an  
No title

なるほど。確かに,私のよりも再出発さんの説明の方が分かりやすいですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントとポチを有難う御座います。
温室のものです。ラン科の花は独特の華やかさがありますね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座いました。
最初からこの[参考]を書いておくべきでした。

スモークマン  
No title

お尋ね...^^;...
再出発さんの説明...不等号の向きは同じで...
3*3^2<160000
4*4^2<250000
5*5^2<360000
6*6^2<490000
7*7^2<640000
8*8^2<810000
9*9^2<999999<1000000
ということと理解しましたが...そういうことですよね...?

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、ご質問の件ですが、
8□8^2 は一の位が4で、640000より大きいから回文数になりません。
810000より小さいことは関係ありません。
9□9^2 についても同様です。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
なるほど...
では...
単純に...
3*3^2>90000
4*4^2>160000
5*5^2>250000
6*6^2>360000
7*7^2>490000
8*8^2>640000
9*9^2>810000
でもいいような...?

気がするわたしは...何か勘違いしてるのかなぁ...^^;?

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、ご質問の件ですが、
7□7^2 は一の位が9で、640000より小さいから十万の位が9でないので回文数になりません。
490000より大きいことは関係ありません。

スモークマン  
No title

う~む...^^;
ならば...しつこくて申し訳ないですが...Orz...

90000<3*3^2<160000
160000<4*4^2<250000
250000<5*5^2<360000
360000<6*6^2<490000
490000<7*7^2<640000
640000<8*8^2<810000
810000<9*9^2<100000

ってことですよね?
下の桁がこの範囲にないという説明になってますよね...^^;...
再出発さんの説明と同じことだとは思うのですが...不等号がややこしかったものだから...

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、再出発さんもそのように書かれていましたが、
私が、必要部分だけを抜き出してコンパクトにしたのが、
上記の[参考]です。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
ラジャー♪
何度もすみませんでした...Orz...
グラッチェ ^^v
頭の固いわたしです...^^;;;...

ニリンソウ  
No title

お正月に花の女王カトレアを出すなんて
見事な演出ですね。
ポチ

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、分かって頂けたようですね。
必要最小限に削ったので却って分かりにくくなったのかも知れません。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
花の少ない季節ですので、温室で撮ってあったものを使っているだけです。
気にしていませんでしたが、なるほど、正月に相応しいですね。