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[答215] 角の3等分と面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答215] 角の3等分と面積


 △ABCにおいて、∠Aを3等分線とBCの交点をBに近い方からD,Eとすると、3つの三角形の面積は、

 △ABD=2, △ADE=1, △AEC=3 となりました。このとき、BCの長さは?



[解答0]

 以下のことは、どの解答にも共通することですので、説明なしに使います。

 BD:DE:EC=△ABD:△ADE:△AEC=2:1:3 、従って、EはBCの中点

 ADは∠BAEの二等分線なので、BA:AE=BD:DE=2:1

 AEは∠DACの二等分線なので、DA:AC=DE:EC=1:3

 ………………………………………………………………

 ∠BAD=∠DAE=∠EAC のいずれかが 45゚ と求められれば、三平方の定理より、

 BE2=AB2+AE2=5AE2=5(AE・AB/2)=5△ABE=15、

 BC=2BE=2√15 になります。


[解答1]

 Eに関するAの対称点をFとすれば、AF=2AE=AB で、∠ABF=∠AFB です。

 また、△EFB≡△EAC より、∠EFB=∠EAC です。

 よって、∠ABF=∠EFB=∠BAD=∠DAE=45゚ になります。


[解答2] tsu*o*hi*194*さんのコメントより

 EはBCの中点だから、BAの延長上に BA=AG を満たす点Gをとると、中点連結定理により、

 GC//AE,GC=2AE になり、AB:AE=2:1 と併せて、GA=GC 、

 よって、∠GAC=∠GCA=∠CAE=45゚ になります。


[解答3] uch*n*anさんのコメントより

 BA の A の方への延長上に AH=AE となる点 H をとると,

 BA:AH=AB:AE=2:1,△CAH=△CBA/2=6/2=3=△CAE

 △CAHと△CAEは面積が等しく、対応する2組の辺がそれぞれ等しいので、その間の角は、

 ∠CAH=∠CAE 又は ∠CAH+∠CAE=180゚ になります。

 ∠CAH+∠CAE<∠BAH=180゚ を考慮すると,

 ∠CAH=∠CAE=∠BAD=∠DAE=45゚ しか考えられません。


[解答4]

 BC:CE=6:3=2:1=AB:AE だから、ACは∠BAEの外角の二等分線となって、

 ∠BAD=∠DAE=∠EAC=180゚/4 になります。


[解答5] uch*n*anさんのコメントより

 ∠BAD=∠DAE=∠EAC=x,AE=a,AB=2a,AD=b,AC=3b として,

 △DAE=b・a・sin(x)・1/2=1,ab・sin(x)=2

 △ABE=a・2a・sin(2x)・1/2=△ABD+△ADE,a2sin(2x)=3

 △ADC=b・3b・sin(2x)・1/2=△ADE+△ACE,3b2sin(2x)=8

 これを解くと,x=45゚,a=√3,b=2√6/3 となり,

 ∠BAE=2x=90゚,AB=2√3,AE=√3 より,BE=√15,BC=2BE=2√15 になります。


[解答6]

 AE=a, AD=b, DE=c とすれば、AB=2a, AC=3b, BD=2c, EC=3c になります。

 余弦定理より、

 (4a2+b2-4c2)/(4ab)=(a2+b2-c2)/(2ab)=(a2+9b2-9c2)/(6ab)

 まず、4a2+b2-4c2=2(a2+b2-c2)

   2a2-b2-2c2=0

 次に、3(a2+b2-c2)=a2+9b2-9c2

   2a2-6b2+6c2=0

 導いた2式より b2 を消去すると、5a2=9c2 すなわち AB2+AE2=BE2

 △ABEの面積は、a2=3 となって、

 BC2=36a2=20a2=60、 BC=2√15 です。


[解答7]

 AE=a, AD=b, DE=c とすれば、AB=2a, AC=3b, BD=2c, EC=3c になります。

 角の二等分線の長さの公式( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-1537.html )より、

 △ABE において、AD2=AB・AE-BD・DE 、b2=2a2-2c2

 △ADC において、AE2=AD・AC-DE・EC 、a2=3b2-3c2

 となって、これを簡単にすると、a2/9=b2/8=c2/5 になります。

 a=3t,b=(2√2)t,c=(√5)t とおくと、△ADE=3t2 となって、3t2=1 、t=1/√3 、

 BC=6c=6(√5)t=6(√5)/√3=2√15 になります。


[参考]

 一般に、△ABD=P,△ADE=Q,△AEC=R とすれば、

 BC2=4(P+Q+R)2(PR-Q2) / Q√{(P+Q)(Q+R)(3PR-PQ-QR-Q2)}

 になります。

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Comments 18

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古い人  
No title

今日のコチョウラン此れも綺麗ですね。

この寒い時期温かさを感じます。 ポチ。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このごろ撮りためた写真を使っていますが、いつ見ても胡蝶蘭は豪華です。

アキチャン  
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おはようございます。
ピンクもきれいですネ (o^-^o) ポチ♪

黒翼  
No title

おはようございます.

この問題にはこんなにも多くの解法があったのかと驚いております.

僕のは解答5に最も近いのかなと思います.
個人的には解答1がお気に入りですね.

傑作押させていただきます.

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
白とピンクが混ざって咲いておりました。どちらも美しいので別々に撮りました。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私は[解答4]が最も簡単だと思います。この解答を寄せてくれた方はありませんでした。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
多種多様な解法があって楽しい問題でしたね♪
解法4は...いつも盲点 ^^;
理解が十分できてない証拠なのよねぇ...

黒翼  
No title

確かに解答4は簡単ですね.

外角の二等分線には気づきませんでした.
意図して作問されたのか,作問後にこの解法に気づいたのか...
どちらにしてもすごいです.

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
誰でも外分点は思いつきにくいと思います。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
私は[参考]のように一般的に解き、解きやすいように簡単な数値にしました。
簡単にすると、Eが中点になり、Cが同じ比の外分点になりました。

黒翼  
No title

偶然外分点になったのだとすれば,それはそれで神秘的ですね.

偶然とは思えない感じです・・・

ゆうこ つれづれ日記  
No title

今日はピンクの胡蝶蘭、いいですねー
個人でこれだけ咲かすことが出来たら
園芸店に勤められますね。
ポチッ☆

ニリンソウ  
No title

今日は可愛いピンクの胡蝶蘭!
毎日華やかですね。 見に来る私もいい気分です
ポチ

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、何度もコメントを有難う御座います。
偶然外分点になりました。もちろん気づかなければいけませんが。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
園芸店ですか、今にして思えば、若い頃にそんな所でアルバイトしていればよかったのですが……。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
本当は沢山の野草の写真でも載せたいのですが、見つける時間がありませんし、
野草には現場に名札がないので厄介です。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
胡蝶蘭を2度咲きさせたことがあります。花は少し小さくなりましたが、すごく愛しかったです。上のように、こんなにきれいではなかったけど^^
ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
なかなかプロのようにはいかないのですね。
でも愛しい気持が伝わってきます。