[答215] 角の3等分と面積
[答215] 角の3等分と面積
△ABCにおいて、∠Aを3等分線とBCの交点をBに近い方からD,Eとすると、3つの三角形の面積は、
△ABD=2, △ADE=1, △AEC=3 となりました。このとき、BCの長さは?
[解答0]
以下のことは、どの解答にも共通することですので、説明なしに使います。
BD:DE:EC=△ABD:△ADE:△AEC=2:1:3 、従って、EはBCの中点
ADは∠BAEの二等分線なので、BA:AE=BD:DE=2:1
AEは∠DACの二等分線なので、DA:AC=DE:EC=1:3
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∠BAD=∠DAE=∠EAC のいずれかが 45゚ と求められれば、三平方の定理より、
BE2=AB2+AE2=5AE2=5(AE・AB/2)=5△ABE=15、
BC=2BE=2√15 になります。
[解答1]
Eに関するAの対称点をFとすれば、AF=2AE=AB で、∠ABF=∠AFB です。
また、△EFB≡△EAC より、∠EFB=∠EAC です。
よって、∠ABF=∠EFB=∠BAD=∠DAE=45゚ になります。
[解答2] tsu*o*hi*194*さんのコメントより
EはBCの中点だから、BAの延長上に BA=AG を満たす点Gをとると、中点連結定理により、
GC//AE,GC=2AE になり、AB:AE=2:1 と併せて、GA=GC 、
よって、∠GAC=∠GCA=∠CAE=45゚ になります。
[解答3] uch*n*anさんのコメントより
BA の A の方への延長上に AH=AE となる点 H をとると,
BA:AH=AB:AE=2:1,△CAH=△CBA/2=6/2=3=△CAE
△CAHと△CAEは面積が等しく、対応する2組の辺がそれぞれ等しいので、その間の角は、
∠CAH=∠CAE 又は ∠CAH+∠CAE=180゚ になります。
∠CAH+∠CAE<∠BAH=180゚ を考慮すると,
∠CAH=∠CAE=∠BAD=∠DAE=45゚ しか考えられません。
[解答4]
BC:CE=6:3=2:1=AB:AE だから、ACは∠BAEの外角の二等分線となって、
∠BAD=∠DAE=∠EAC=180゚/4 になります。
[解答5] uch*n*anさんのコメントより
∠BAD=∠DAE=∠EAC=x,AE=a,AB=2a,AD=b,AC=3b として,
△DAE=b・a・sin(x)・1/2=1,ab・sin(x)=2
△ABE=a・2a・sin(2x)・1/2=△ABD+△ADE,a2sin(2x)=3
△ADC=b・3b・sin(2x)・1/2=△ADE+△ACE,3b2sin(2x)=8
これを解くと,x=45゚,a=√3,b=2√6/3 となり,
∠BAE=2x=90゚,AB=2√3,AE=√3 より,BE=√15,BC=2BE=2√15 になります。
[解答6]
AE=a, AD=b, DE=c とすれば、AB=2a, AC=3b, BD=2c, EC=3c になります。
余弦定理より、
(4a2+b2-4c2)/(4ab)=(a2+b2-c2)/(2ab)=(a2+9b2-9c2)/(6ab)
まず、4a2+b2-4c2=2(a2+b2-c2)
2a2-b2-2c2=0
次に、3(a2+b2-c2)=a2+9b2-9c2
2a2-6b2+6c2=0
導いた2式より b2 を消去すると、5a2=9c2 すなわち AB2+AE2=BE2。
△ABEの面積は、a2=3 となって、
BC2=36a2=20a2=60、 BC=2√15 です。
[解答7]
AE=a, AD=b, DE=c とすれば、AB=2a, AC=3b, BD=2c, EC=3c になります。
角の二等分線の長さの公式( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-1537.html )より、
△ABE において、AD2=AB・AE-BD・DE 、b2=2a2-2c2 、
△ADC において、AE2=AD・AC-DE・EC 、a2=3b2-3c2 、
となって、これを簡単にすると、a2/9=b2/8=c2/5 になります。
a=3t,b=(2√2)t,c=(√5)t とおくと、△ADE=3t2 となって、3t2=1 、t=1/√3 、
BC=6c=6(√5)t=6(√5)/√3=2√15 になります。
[参考]
一般に、△ABD=P,△ADE=Q,△AEC=R とすれば、
BC2=4(P+Q+R)2(PR-Q2) / Q√{(P+Q)(Q+R)(3PR-PQ-QR-Q2)}
になります。