[答215] 角の３等分と面積
[答215] 角の３等分と面積
△ABCにおいて、∠Aを３等分線とBCの交点をBに近い方からD，Eとすると、３つの三角形の面積は、
△ABD＝2， △ADE＝1， △AEC＝3 となりました。このとき、BCの長さは？
[解答0]
以下のことは、どの解答にも共通することですので、説明なしに使います。
BD：DE：EC＝△ABD：△ADE：△AEC＝2：1：3 、従って、EはBCの中点
ADは∠BAEの二等分線なので、BA：AE＝BD：DE＝2：1
AEは∠DACの二等分線なので、DA：AC＝DE：EC＝1：3
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∠BAD＝∠DAE＝∠EAC のいずれかが 45ﾟ と求められれば、三平方の定理より、
BE2＝AB2＋AE2＝5AE2＝5(AE･AB/2)＝5△ABE＝15、
BC＝2BE＝2√15 になります。
[解答1]
Eに関するAの対称点をFとすれば、AF＝2AE＝AB で、∠ABF＝∠AFB です。
また、△EFB≡△EAC より、∠EFB＝∠EAC です。
よって、∠ABF＝∠EFB＝∠BAD＝∠DAE＝45ﾟ になります。
[解答2] tsu*o*hi*194*さんのコメントより
EはBCの中点だから、BAの延長上に BA＝AG を満たす点Gをとると、中点連結定理により、
GC//AE，GC＝2AE になり、AB：AE＝2：1 と併せて、GA＝GC 、
よって、∠GAC＝∠GCA＝∠CAE＝45ﾟ になります。
[解答3] uch*n*anさんのコメントより
BA の A の方への延長上に AH＝AE となる点 H をとると，
BA：AH＝AB：AE＝2：1，△CAH＝△CBA/2＝6/2＝3＝△CAE
△CAHと△CAEは面積が等しく、対応する２組の辺がそれぞれ等しいので、その間の角は、
∠CAH＝∠CAE 又は ∠CAH＋∠CAE＝180ﾟ になります。
∠CAH＋∠CAE＜∠BAH＝180ﾟ を考慮すると，
∠CAH＝∠CAE＝∠BAD＝∠DAE＝45ﾟ しか考えられません。
[解答4]
BC：CE＝6：3＝2：1＝AB：AE だから、ACは∠BAEの外角の二等分線となって、
∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝180ﾟ/4 になります。
[解答5] uch*n*anさんのコメントより
∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝x，AE＝a，AB＝2a，AD＝b，AC＝3b として，
△DAE＝b･a･sin(x)･1/2＝1，ab･sin(x)＝2
△ABE＝a･2a･sin(2x)･1/2＝△ABD＋△ADE，a2sin(2x)＝3
△ADC＝b･3b･sin(2x)･1/2＝△ADE＋△ACE，3b2sin(2x)＝8
これを解くと，x＝45ﾟ，a＝√3，b＝2√6/3 となり，
∠BAE＝2x＝90ﾟ，AB＝2√3，AE＝√3 より，BE＝√15，BC＝2BE＝2√15 になります。
[解答6]
AE＝a， AD＝b， DE＝c とすれば、AB＝2a， AC＝3b， BD＝2c， EC＝3c になります。
余弦定理より、
(4a2＋b2－4c2)/(4ab)＝(a2＋b2－c2)/(2ab)＝(a2＋9b2－9c2)/(6ab)
まず、4a2＋b2－4c2＝2(a2＋b2－c2)
2a2－b2－2c2＝0
次に、3(a2＋b2－c2)＝a2＋9b2－9c2
2a2－6b2＋6c2＝0
導いた２式より b2 を消去すると、5a2＝9c2 すなわち AB2＋AE2＝BE2。
△ABEの面積は、a2＝3 となって、
BC2＝36a2＝20a2＝60、 BC＝2√15 です。
[解答7]
AE＝a， AD＝b， DE＝c とすれば、AB＝2a， AC＝3b， BD＝2c， EC＝3c になります。
角の二等分線の長さの公式( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-1537.html )より、
△ABE において、AD2＝AB･AE－BD･DE 、b2＝2a2－2c2 、
△ADC において、AE2＝AD･AC－DE･EC 、a2＝3b2－3c2 、
となって、これを簡単にすると、a2/9＝b2/8＝c2/5 になります。
a＝3t，b＝(2√2)t，c＝(√5)t とおくと、△ADE＝3t2 となって、3t2＝1 、t＝1/√3 、
BC＝6c＝6(√5)t＝6(√5)/√3＝2√15 になります。
[参考]
一般に、△ABD＝P，△ADE＝Q，△AEC＝R とすれば、
BC2＝4(P＋Q＋R)2(PR－Q2) / Q√{(P＋Q)(Q＋R)(3PR－PQ－QR－Q2)}
になります。
