[答216] 内部の三角形の面積
[答216] 内部の三角形の面積
AB=AC,BC=54 の △ABCの 辺BCを3等分する点を Bに近いほうからD,Eとし、
線分AD上に点Pをとって、AEとPCの交点をQ,ADとQBの交点をR とすると、
QE=5,RD=3 になりました。このとき、△PQRの面積は?
[解答1]
AD=AE=a,PR=x とします。
メネラウスの定理より、
(AR/RD)(DB/BE)(EQ/QA)=1、(AR/RD)(1/2)(EQ/QA)=1、AR・EQ=2RD・QA、
10(a-3)=12(a-5)、a=15 になります。
メネラウスの定理より、
(AP/PD)(DC/CE)(EQ/QA)=1、(AP/PD)(2/1)(EQ/QA)=1、 2AP・EQ=PD・QA、
10(12-x)=10(x+3)、x=9/2 になります。
よって、△PQR=(9/2/15)△AQD=(9/30)(10/15)△ADE=△ADE/5、
△ADE=(1/2)・18・√(152-92)=108 だから、
(AD:DE/2=15:9=5:3 より、3:4:5 の直角三角形から 高さ=12 でもよい)
△PQR=108/5 になります。
☆ 以下、メネラウスの定理を使わずに、AD=AE=15,PR=9/2 を求める方法です。
[解答2] uch*n*anさんのコメントより
SQ//BC を満たすように、AD上に点Sをとると、対称性により SD=QE=5、SR=2 です。
△RQS∽△RBD だから、QS:BD=RS:RD、QS:18=2:3、QS=12 、
△PSQ∽△PDC だから、PS:PD=SQ:DC、PS:(PS+5)=12:36、PS=5/2 、PR=9/2 、
△ASQ∽△ADE だから、AQ:AE=SQ:DE、(AE-5):AE=12:18、AE=15 です。
[解答3] uch*n*anさんのコメントより
DT//EQ を満たすように、BQ上に点Tをとると、中点連結定理の逆より、DT=EQ/2=5/2 、
△RDT∽△RAQ だから、RD:RA=DT:AQ、3:(AD-3)=5/2:(AE-5)、
AD=AE も併せて、AD=AE=15,AQ=10,AQ:QE=10:5=2:1 になります。
Qは△ADEの中線AEを 2:1 に内分するから重心であって、PはADの中点です。
従って、PR=AD/2-3=15/2-3=9/2 です。
[解答4] crazy_tomboさんのコメントより
QU//AD を満たすように、BC上に点Uをとると、
△ADE∽△QUE だから、AD:QU=AE:QE、また、AD=AE だから、QU=QE=5 、
△BQU∽△BRD だから、BU:BD=QU:RD、BU:18=5:3、BU=30 、UE=6 、
△ADE∽△QUE だから、AD:QU=DE:UE、AD:5=18:6、AD=15 、
△PDC∽△QUC だから、PD:QU=DC:UC、(PR+3):5=36:24、PR=9/2 です。
.