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[答216] 内部の三角形の面積

ヤドカリ

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[答216] 内部の三角形の面積


 AB=AC,BC=54 の △ABCの 辺BCを3等分する点を Bに近いほうからD,Eとし、

 線分AD上に点Pをとって、AEとPCの交点をQ,ADとQBの交点をR とすると、

 QE=5,RD=3 になりました。このとき、△PQRの面積は?


[解答1]

 AD=AE=a,PR=x とします。

 メネラウスの定理より、

  (AR/RD)(DB/BE)(EQ/QA)=1、(AR/RD)(1/2)(EQ/QA)=1、AR・EQ=2RD・QA、

  10(a-3)=12(a-5)、a=15 になります。

 メネラウスの定理より、

  (AP/PD)(DC/CE)(EQ/QA)=1、(AP/PD)(2/1)(EQ/QA)=1、 2AP・EQ=PD・QA、

  10(12-x)=10(x+3)、x=9/2 になります。

 よって、△PQR=(9/2/15)△AQD=(9/30)(10/15)△ADE=△ADE/5、

 △ADE=(1/2)・18・√(152-92)=108 だから、

  (AD:DE/2=15:9=5:3 より、3:4:5 の直角三角形から 高さ=12 でもよい)

 △PQR=108/5 になります。


☆ 以下、メネラウスの定理を使わずに、AD=AE=15,PR=9/2 を求める方法です。


[解答2] uch*n*anさんのコメントより

 SQ//BC を満たすように、AD上に点Sをとると、対称性により SD=QE=5、SR=2 です。

 △RQS∽△RBD だから、QS:BD=RS:RD、QS:18=2:3、QS=12 、

 △PSQ∽△PDC だから、PS:PD=SQ:DC、PS:(PS+5)=12:36、PS=5/2 、PR=9/2 、

 △ASQ∽△ADE だから、AQ:AE=SQ:DE、(AE-5):AE=12:18、AE=15 です。


[解答3] uch*n*anさんのコメントより

 DT//EQ を満たすように、BQ上に点Tをとると、中点連結定理の逆より、DT=EQ/2=5/2 、

 △RDT∽△RAQ だから、RD:RA=DT:AQ、3:(AD-3)=5/2:(AE-5)、

 AD=AE も併せて、AD=AE=15,AQ=10,AQ:QE=10:5=2:1 になります。

 Qは△ADEの中線AEを 2:1 に内分するから重心であって、PはADの中点です。

 従って、PR=AD/2-3=15/2-3=9/2 です。


[解答4] crazy_tomboさんのコメントより

 QU//AD を満たすように、BC上に点Uをとると、

 △ADE∽△QUE だから、AD:QU=AE:QE、また、AD=AE だから、QU=QE=5 、

 △BQU∽△BRD だから、BU:BD=QU:RD、BU:18=5:3、BU=30 、UE=6 、

 △ADE∽△QUE だから、AD:QU=DE:UE、AD:5=18:6、AD=15 、

 △PDC∽△QUC だから、PD:QU=DC:UC、(PR+3):5=36:24、PR=9/2 です。

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Comments 10

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アキチャン  
No title

おはようございます。
黄色い蘭・・・元気が出ました!!
ポチ♪

ニリンソウ  
No title

おはようございます、毎日早起きですね。
黄色いカトレア? 初めて見るようだ。
水仙のようでもありますね~ ポチ

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
だいぶ整理していただいて恐縮です ^^;
高さ(3:4:5から)を求めて面積を出したのですが...
そんな必要はなかったわけですねぇ...Orz~v

いっちゃん  
No title

こんにちは。
これはミニカトレアですか?
可愛さのなかに優美さがあっていいですね。。ポチ

古い人  
No title

此花は軸お見るとデンドロの種類ですね。

此の頃は交配で変わった花が沢山有りますね。

私も昨日ランの館に行ってきました。 ポチ。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
昨日と同じ黄色です。黄色とオレンジは元気が出ますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
調べてみると、ポチナラ フリースピリット カーメラ というのがよく似ていましたが、
自信はありません。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントを有難う御座います。
解読・整理をしました。
面積を求めるのは、やはり、三平方か 3:4:5 は必要です。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
カトレアを調べてみると、ポチナラ フリースピリット カーメラ というのがよく似ていました。
交配種が多くてよく分かりません。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントとポチを有難う御座います。
蘭は沢山の交配種があって分からないことも多いのですが、
名前が何であっても美しいですね。
「ランの館」の写真を期待しています。