[答216] 内部の三角形の面積

[答216] 内部の三角形の面積


　AB＝AC，BC＝54 の △ABCの 辺BCを３等分する点を Bに近いほうからD，Eとし、

　線分AD上に点Pをとって、AEとPCの交点をQ，ADとQBの交点をR とすると、

　QE＝5，RD＝3 になりました。このとき、△PQRの面積は？


[解答1]

　AD＝AE＝a，PR＝x とします。

　メネラウスの定理より、

　 (AR/RD)(DB/BE)(EQ/QA)＝1、(AR/RD)(1/2)(EQ/QA)＝1、AR･EQ＝2RD･QA、

　 10(a－3)＝12(a－5)、a＝15 になります。

　メネラウスの定理より、

　 (AP/PD)(DC/CE)(EQ/QA)＝1、(AP/PD)(2/1)(EQ/QA)＝1、 2AP･EQ＝PD･QA、

　 10(12－x)＝10(x＋3)、x＝9/2 になります。

　よって、△PQR＝(9/2/15)△AQD＝(9/30)(10/15)△ADE＝△ADE/5、

　△ADE＝(1/2)･18･√(15²－9²)＝108 だから、

　 (AD：DE/2＝15：9＝5：3 より、3：4：5 の直角三角形から 高さ＝12 でもよい)

　△PQR＝108/5 になります。


☆ 以下、メネラウスの定理を使わずに、AD＝AE＝15，PR＝9/2 を求める方法です。


[解答2] uch*n*anさんのコメントより

　SQ//BC を満たすように、AD上に点Sをとると、対称性により SD＝QE＝5、SR＝2 です。

　△RQS∽△RBD だから、QS：BD＝RS：RD、QS：18＝2：3、QS＝12 、

　△PSQ∽△PDC だから、PS：PD＝SQ：DC、PS：(PS＋5)＝12：36、PS＝5/2 、PR＝9/2 、

　△ASQ∽△ADE だから、AQ：AE＝SQ：DE、(AE－5)：AE＝12：18、AE＝15 です。


[解答3] uch*n*anさんのコメントより

　DT//EQ を満たすように、BQ上に点Tをとると、中点連結定理の逆より、DT＝EQ/2＝5/2 、

　△RDT∽△RAQ だから、RD：RA＝DT：AQ、3：(AD－3)＝5/2：(AE－5)、

　AD＝AE も併せて、AD＝AE＝15，AQ＝10，AQ：QE＝10：5＝2：1 になります。

　Qは△ADEの中線AEを 2：1 に内分するから重心であって、PはADの中点です。

　従って、PR＝AD/2－3＝15/2－3＝9/2 です。


[解答4] crazy_tomboさんのコメントより

　QU//AD を満たすように、BC上に点Uをとると、

　△ADE∽△QUE だから、AD：QU＝AE：QE、また、AD＝AE だから、QU＝QE＝5 、

　△BQU∽△BRD だから、BU：BD＝QU：RD、BU：18＝5：3、BU＝30 、UE＝6 、

　△ADE∽△QUE だから、AD：QU＝DE：UE、AD：5＝18：6、AD＝15 、

　△PDC∽△QUC だから、PD：QU＝DC：UC、(PR＋3)：5＝36：24、PR＝9/2 です。

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