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[答217] 内接する円周の長さの無限和

ヤドカリ

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[答217] 内接する円周の長さの無限和


 図のように、AB=AC=175, BC=98 の △ABCの内接円を描き、各頂点に向かってもとの円と2辺に

 接する円を次々に描いていくとき、これらの円周の長さの総和(無限和)は?



[解答1]

 △ABCの内心をI,AIの延長とBCの交点をH,内接円の半径をrとします。

 BCを底辺とすると高さ AH=√(1752-492)=7√(252-72)=7・24、

 △ABC=98・7・24/2=49・7・24、r=2・49・7・24/(175+175+98)=49・3/4 になります。

 また、IB=IC=√(r2+492)=(49/4)√(32+42)=49・5/4 です。

 従って、すべての円の直径の和は、AH+(IB-r)+(IC-r)=7・24+2(49・5/4-49・3/4)=217 、

 すべての円の円周の和は、それにπをかけて、217π になります。


[解答2] きちんと無限等比級数の和を使うと、

 AH=7・24,IB=IC=49・5/4,r=49・3/4 を使って、

 頂点Aの方向へ向かって隣り合う円の相似比は、

 AH:(AH-2r)=7・24:(7・24-2r)=7・24:(7・24-49・3/2)=16:9 です。

 頂点B,Cの方向へ向かって隣り合う円の相似比は、

 (IB+r):(IB-r)=(49・5/4+49・3/4):(49・5/4-49・3/4)=4:1 です。

 そこで、長さの総和は、

 2πr/(1-9/16)+2・2πr/(1-1/4)-2・2πr=2πr(16/7+8/3-2)=(49・3/2)π(62/21)=217π です。

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Comments 12

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古い人  
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今日はカトレアてすね。

花の女王と言われるだけ有って。

豪華で気品の高い花ですね。 ポチ。

アキチャン  
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おはようございます。
きれいですネ (o^-^o) ポチ♪

tsuyoshik1942  
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簡明な解答1を見逃してしまいました。

同じような構図において、中心から二番目の円の半径が関与する問題に取り組み、それが頭に残っていたため、直ちに等比数列に向かってしまいました。

ニリンソウ  
No title

今日は派手派手ですね。
寒い日はおもいっきり派手もいいですね。
ポチ

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この蘭は、属名ポチナラ、品種名チャーミデス'オクトーバー'だそうです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
蘭はやはり豪華できれいです。

ヤドカリ  
No title

tsu*o*hi*194*さん、早速のコメントを有難う御座います。
なまじ無限等比級数を知っていると、解答1は見落としますね。
私は作問のときに、円周の和にするか面積の和にするかをを考え、
面積の和だと数値が複雑になりますので、円周の和にしました。
従って、最初は[解答2]で考えました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
白い花と違って、仰る通り派手に見えますね。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

カトレアの花、きれいですね~~~
洋らんをみるとほしくなってしまいます。
お花は心と頭の安定剤のようだと思います。
ポチッ☆

ヤドカリ  
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ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
数学の問題だけでは殺風景です。花の写真のおかげで助かっています。

こっこちゃん  
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素敵な カトレア

と数学の問題 いつも花しかわかんないです~ごめん ポチ

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
カトレアは優雅です。数学の問題に文字通り花を添えました。