FC2ブログ

Welcome to my blog

[答219] 八面体の体積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答219] 八面体の体積


 長さが9の辺と長さが7の辺を6本ずつもち、図のような展開図をもつ八面体の体積は?


[解答1]

 左下図のように、この八面体に、

 1辺が9の正三角形の底面と辺が7,7,9の二等辺三角形の側面をもつ正三角錐を4個つけると、

 この正三角錐と相似な、2倍の(体積は8倍)の正三角錐ができます。

 従って、八面体の体積は、正三角錐の体積の4倍になります。

 正三角錐の底面は、1辺が9の正三角形だから、

 面積は 81√3/4 、重心と頂点の距離は 3√3 だから、

 三角錐の高さは、三平方の定理より、√(72-27)=√22 、

 従って、正三角錐の体積は、(1/3)・(81√3/4)(√22)=27√66/4 、

 八面体の体積は、4・27√66/4=27√66 になります。


[解答2] uch*n*anさん・再出発さんのコメントより

 右上図のように、正六角柱から 正六角柱の3つの頂点を通る平面で 三角錐を6個切り取ると、

 問題の八面体ができます。

 この三角錐1つは、正六角柱と比べて底面積が 1/6,高さが等しいので、体積は (1/6)/3=1/18、

 よって、求める八面体の体積は、正六角柱の体積の 1-6・1/18=2/3 倍になります。

 正六角形の1辺は 3√3 だから 面積は 6・(√3)(3√3)2/4=81√3/2、

 切り取る三角錐の側面で直角三角形のものに注目すると、高さは √(72-27)=√22 だから、

 正六角柱の体積は (81√3/2)√22=81√66/2 で、

 八面体の体積は、(81√66/2)(2/3)=27√66 になります。


[解答3] uch*n*anさん・ふじもさんのコメントより

 右下図のように、この八面体は 7,9 を2辺とする長方形を底面とする四角錐2つ分になります。

 この四角錐の頂点をA,底面(長方形)の長さ9の辺の中点をB,C,

 AからBCにおろした垂線の足をHとすれば、

 AB=9√3/2 ,AC=√115/2 ,BC=7 となります。

 AH2=AC2-CH2=AB2-BH2

 AH2=115/4-CH2=243/4-BH2

 BH2-CH2=32 、(BH+CH)(BH-CH)=32 、

 また、BH+CH=7 だから BH-CH=32/7 、従って CH=17/14 、AH=9√66/14 になります。

 八面体の体積は、2{(9・7)(9√66/14)/3}=27√66 になります。


☆ 27√66=219.3490…… です。

.

スポンサーサイト



Comments 10

There are no comments yet.
スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
空間の問題って...めちゃ...頭の体操になりますねぇ...^^;...
建築家の方や彫刻家の方達はきっと得意なんでしょうねぇ...♪

古い人  
No title

今日のカトレア花芯の黄色がとても似合いますね。

清潔で気品の高い花ですね。 ポチ。

いっちゃん  
No title

おはようございます^^
白いカトレア素敵ですね。花言葉の「魔力」のことば通り
惹きつけられます♪ポチ

ゆうこ つれづれ日記  
No title

今日は白いカトレアですね。
カトレアも優雅さと清純さがあって素敵です。
来年も咲かせられるという保証があればほしいお花です。
ヨウランの育ては難しいです。
ポチッ☆

こっこちゃん  
No title

カトレア ランで女王様ですよね”

貰っても 後 咲かせられません~~ ポチ

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントを有難う御座います。
空間図形は確かに頭の体操になります。
こんな問題を出すと、解答を作るのは骨が折れます。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
属名カトレア、品種名ハワイアン です。
ハワイのような暖かい所に行きたいです。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
花言葉は「魔力」ですか。
このような花を育てる人にも魔力がありそうです。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
私は蘭展を見て撮っただけですが、育てるのはかなり難しいようですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
蘭はゴージャスで気品があります。魅力的ですね。