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[答220] 約数の総和

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答220] 約数の総和


 p,q,r,s を異なる素数,A=p2qr,B=p2s とします。

 Aの正の約数の総和も Bの正の約数の総和も A+B に等しいとき、A,B の値は?


[解答]

 (p2+p+1)(q+1)(r+1)=(p2+p+1)(s+1)=p2(qr+s) 。

 ここで、(q+1)(r+1)=s+1 だから、s=qr+q+r 、

 よって、(p2+p+1)(qr+q+r+1)=p2(2qr+q+r) 、

 (p2+p+1)qr+(p2+p+1)(q+r)+(p2+p+1)=2p2qr+p2(q+r) 、

 (p2+p+1-2p2)qr+(p2+p+1-p2)(q+r)+(p2+p+1)=0 、

 (p2-p-1)qr-(p+1)(q+r)-(p2+p+1)=0 、

 (p2-p-1)2qr-(p2-p-1)(p+1)(q+r)-(p2+p+1)(p2-p-1)=0 、

 (p2-p-1)2qr-(p2-p-1)(p+1)(q+r)+(p+1)2=p4

 {(p2-p-1)q-(p+1)}{(p2-p-1)r-(p+1)}=p4 となります。

 q<r としても一般性を失わないので、この条件をつけると、

 (p2-p-1)q-p-1=1,p 、

  (p2-p-1)q-p-1=1 のとき、

  (p2-p-1)q=p+2 、1/q=(p2-p-1)/(p+2)=p-3+5/(p+2) 、

  0<1/q<1 だから 素数 p が 0<p-3+5/(p+2)<1 を満たすので、 p=2 、

  このとき、q=4 ですが、これは素数ではありません。

 (p2-p-1)q-p-1=p のとき、

  (p2-p-1)q=2p+1 、4/q=(4p2-4p-4)/(2p+1)=2p-3-1/(2p+1) 、

  0<4/q≦2 だから 素数 p が 0<2p-3-1/(2p+1)≦2 を満たすので、 p=2 、

  このとき、q=5 は素数、 (p2-p-1)r-p-1=p3 より r=11 は素数、

  (q+1)(r+1)=s+1 より、72=s+1 、s=71 で、これも素数です。

 従って、 A=p2qr=22・5・11=220, B=p2s=22・71=284 となります。


☆ p2qr,p2s の形の友愛数は 220,284 だけでした。

☆ 友愛数のリストは http://amicable.homepage.dk/knwnc2.htm をご覧下さい。

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Comments 20

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ニリンソウ  
No title

オンシジュームにも種類があったんですね。
そばかすいっぱいの愛嬌があります!

ポチ

uch*n*an  
No title

やはり簡単にはいかないようですね。
私の解法も面倒ですが,ご参考のために書いておきましょう。
私の解法のポイントは,1 + p + p^2 が p を因数にもたないことは同じですが,
q,r の出現の対称性に注目し q + r と qr を求めてみたら,
q + r が p の二次式,qr が p の一次式,になったので,
一般に p のほとんどの値で q + r > qr になってしまいますが,
通常は qr > q + r が自然なので,そこから p を絞り込む,という方針です。

uch*n*an  
No title

まず,一般性を失わずに q < r としていいです。
A = p^2 * qr の正の約数の総和は (1 + p + p^2)(1 + q)(1 + r)
B = p^2 * s の正の約数の総和は (1 + p + p^2)(1 + s)
なので,これらが A + B に等しいことより,
(1 + p + p^2)(1 + q)(1 + r) = (1 + p + p^2)(1 + s) = p^2 * (qr + s)
ここで,1 + p + p^2 は p を因数にもたないので,n を自然数として,
(1 + q)(1 + r) = 1 + s = p^2 * n,qr + q + r = s = p^2 * n - 1
そこで,(1 + p + p^2) * p^2 * n = p^2 * (qr + s) もいえて,これから,
qr = n(1 + p) + 1,q + r = n(p^2 - p - 1) - 2
になります。

uch*n*an  
No title

そして,
qr - (q + r) = (q - 1)(r - 1) - 1 >= (2 - 1)(3 - 1) - 1 = 1
より,
n(p^2 - 2p - 2) <= 2
です。ここで,
p^2 - 2p - 2 = (p - 1)^2 - 3 >= 1,p >= 3 の場合,= -2,p = 2 の場合
なので,場合分けをします。
・p >= 3 の場合
1 <= n(p^2 - 2p - 2) <= 2
なので,
(1) n = 1,p^2 - 2p - 2 = 1,(2) n = 1,p^2 - 2p - 2 = 2,(3) n = 2,p^2 - 2p - 2 = 1
のいずれかです。しかし,
(1)は,p = 3,s = 8 で NG
(2)は,p が存在せず NG
(3)は,p = 3,s = 17 ですが,q + r = 8,qr = 9 となって q,r が存在せず NG
です。つまり,p >= 3 では,解はありません。

uch*n*an  
No title

・p = 2 の場合
s = 4n - 1,q + r = n - 2,qr = 3n + 1
なので,n >= 2 で,q,r は次の t の二次方程式の相異なる自然数解になります。
t^2 - (n - 2)t + (3n + 1) = 0
判別式 = (n - 2)^2 - 4(3n + 1) = n^2 - 16n = m^2,m は自然数
q = ((n - 2) - m)/2 < r = ((n - 2) + m)/2
ここで,判別式は,
(n - 8)^2 = m^2 + 64,(n - m - 8)(n + m - 8) = 64
と変形できるので,n - m - 8 < n + m - 8 で,差が偶数,に注意すると,
(n - m - 8,n + m - 8) = (2,32), (4,16),(n,m) = (25,15), (18,6) ですが,
(n,m) = (25,15) は,q = 4,r = 19,s = 99 で NG
(n,m) = (18,6) は,q = 5,r = 11,s = 71 で OK

uch*n*an  
No title

このとき,
A = p^2 * qr = 4 * 5 * 11 = 220
B = p^2 * s = 4 * 71 = 284
となり,実際,
A の正の約数の総和 = (1 + p + p^2)(1 + q)(1 + r) = 7 * 6 * 12 = 504
B の正の約数の総和 = (1 + p + p^2)(1 + s) = 7 * 72 = 504
A + B = 504
です。以上ですべての場合を尽くしたので,
A = 2^2 * 5 * 11 = 220,B = 2^2 * 71 = 284
になります。

こっこちゃん  
No title

こんにちは

黄色は 好きな色で

元気もらえます~~ ポチ

uch*n*an  
No title

なお,やどかりさんの解法で,k を導入しても使わずにすぐに k を消去していますが,
単に,s = qr + q + r となることから s を消去すればいいので,
これは無駄な操作のような気もします。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

このオンジジュームも素敵です。
見たときに、ヤドカリさんが描いたのかな?
って思いました。
ヨウラン、だいすき。
ポチッ☆

スモークマン  
No title

uch*n*anさんの発想もファンタスティック♪
オイラーさんもこんな風にして友愛数を求められたんでしょうかねぇ... ^^v
さすがですね!!

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
属名オドオンシジューム、品種名スーザン カウフマンと書かれていました。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントと再度のコメントを有難う御座います。
数学オリンピックはオーバーだと思いますが、友愛数には分かっていないことも多く、
いろいろな問題に発展しそうですが、問題を作るのも難しいです。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
「ミツバチハッチ」って「みなしごハッチ」のことですよね。
確かにミツバチが停まっていたら気づかないかもしれません。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
貴女もミツバチですか?
この柄を見て、色は全然違いますが、私は花のホトトギスを思い出しました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
そばかすですか。このそばかすはかわいいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、解答をみなさんに披露して頂き有難う御座います。
長いので、結局、私はまとめきれず、私の解法だけ載せました。
手間をとらせて申し訳ないことです。

> 単に,s = qr + q + r となることから s を消去すればいいので
というのは、私もそう感じましたので、書き換えました。
ご指摘を有難う御座います。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
やはり黄色がお好きなんですね。南国の太陽のいろですから。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
こういう花を描ければ素晴らしいですね。
描く能力はありせんが、描くとすれば水彩画がいいですね。

いっちゃん  
No title

あっは、ミツバチと書きながらなんか違和感があると
思ったら・・
そうです。「みなしごハッチ」でした。これを知ってると
いうことは。。^^
やどかりさんが仰るようにホトトギスにも似ていますね。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、再度のコメントを有難う御座います。
やはり「みなしごハッチ」でしたか。