[答221] 接線と法線が一致する条件

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[答221] 接線と法線が一致する条件


　a＞0，b＞0 とし、３次関数 y＝ax³－14bx のグラフ上に、２点Ｐ，Ｑを、

　Ｐでの接線とＱでの法線が一致するようにとれるときの、ｂの最小値は？



[解答]

　Ｐでの接線(Ｑでの法線)を y＝mx＋n とし、Ｐ，Ｑのｘ座標をそれぞれ p，q とすると、

　ax³－14bx＝mx＋n すなわち、ax³－(14b＋m)x－n＝0 の解が p， p，q 、

　解と係数の関係により、2p＋q＝0 、よって、q＝－2p になります。

　y'＝3ax²－14b で、 Ｐ，Ｑでの接線は直交するから、

　(3ap²－14b)(3aq²－14b)＝－1 、(3ap²－14b)(12ap²－14b)＝－1 、

　簡単のために、6ap²＝t とおくと、(t/2－14b)(2t－14b)＝－1 、t²－35bt＋196b²＋1＝0 です。

　解と係数の関係により、この２次方程式の２つの解の和も積も正の数ですので、

　実数解をもてば、解は両方正の数になって、6ap²＝t を満たす実数ｐが存在します。

　判別式は (35b)²－4(196b²＋1)≧0 、簡単にして、441b²≧4 、b≧2/21 です。

　b の最小値は 2/21 になります。


[参考]

　y＝ax³－14bx のグラフを、原点を中心に √a 倍に拡大または縮小すると、

　y/√a＝a(x/√a)³－14b(x/√a) 、y＝x³－14bx になります。

　従って、Ｐでの接線とＱでの法線が一致するようにとれるときの条件は、a に無関係です。

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