FC2ブログ

Welcome to my blog

[答221] 接線と法線が一致する条件

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答221] 接線と法線が一致する条件


 a>0,b>0 とし、3次関数 y=ax3-14bx のグラフ上に、2点P,Qを、

 Pでの接線とQでの法線が一致するようにとれるときの、bの最小値は?



[解答]

 Pでの接線(Qでの法線)を y=mx+n とし、P,Qのx座標をそれぞれ p,q とすると、

 ax3-14bx=mx+n すなわち、ax3-(14b+m)x-n=0 の解が p, p,q 、

 解と係数の関係により、2p+q=0 、よって、q=-2p になります。

 y'=3ax2-14b で、 P,Qでの接線は直交するから、

 (3ap2-14b)(3aq2-14b)=-1 、(3ap2-14b)(12ap2-14b)=-1 、

 簡単のために、6ap2=t とおくと、(t/2-14b)(2t-14b)=-1 、t2-35bt+196b2+1=0 です。

 解と係数の関係により、この2次方程式の2つの解の和も積も正の数ですので、

 実数解をもてば、解は両方正の数になって、6ap2=t を満たす実数pが存在します。

 判別式は (35b)2-4(196b2+1)≧0 、簡単にして、441b2≧4 、b≧2/21 です。

 b の最小値は 2/21 になります。


[参考]

 y=ax3-14bx のグラフを、原点を中心に √a 倍に拡大または縮小すると、

 y/√a=a(x/√a)3-14b(x/√a) 、y=x3-14bx になります。

 従って、Pでの接線とQでの法線が一致するようにとれるときの条件は、a に無関係です。

.

スポンサーサイト



Comments 13

There are no comments yet.
古い人  
No title

此れも紫一色で綺麗ですね。

此花もデンドロの仲間でしょうか花の付き方は。

デンドロに似ていますね。 ポチ。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
問題集の221,222 がどこかに飛んでます~^^;?...

スモークマン  
No title


失礼しました...^^;
見つけました Orz...

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~~
昨日今日と-10度より下がらない朝を迎えました。
このまま暖かくなってくれると嬉しいのですけど・・・。
今日の蘭の花もいいですね~
ポチッ☆

ニリンソウ  
No title

温室の花達、この寒さを知らないんでしょうね。
羨ましいな! ポチ

アキチャン  
No title

こんにちわ。
綺麗な色・・・♪ ポチ♪
早く お花を撮りに行きたいです~ f(^_^;

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
属名デンファレと書かれていました。品種名はわかりません。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座いました。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
この頃、撮ったままで使わなかった蘭を載せています。
いま、写真を見直しても美しいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
この蘭も温室ではありません。
去年、PCが故障する前に撮ったもので、使わずにそのままになっていたものを今使っています。
今頃は、また、花咲く時期を待っているのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
紫色は高貴な感じがして好きです。
花が咲き乱れる時期が待ち遠しいですね。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
紫一色っていうのは珍しいですね。白色が混ざっているのは見たことがありますが。。とてもきれいです^^
昨日は暖かったのに、今日はまた逆戻りの天気でした。。
ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。

今日は寒いです。こちらでも一時強風の中で冷たい小雨がありました。