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[答223] 四角形の2辺の長さの和

ヤドカリ

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[答223] 四角形の2辺の長さの和


 図のように、AC⊥BD ,AB:CD=2:11 ,面積が 80 である四角形ABCDが、

 直径が 50/3 の円に内接しています。このとき、BC+AD=?


[解答1]

 ACとBDの交点をP,CQを直径とします。

 △PAB∽△PDC だから、PA:PD=PB:PC=AB:DC=2:11 になり、

 PA=2a ,PD=11a ,PB=2b ,PC=11b と表せ、

 AC=2a+11b ,BD=11a+2b ,AQ=11a-2b になります。

 三平方の定理より、AC2+AQ2=CQ2

  (2a+11b)2+(11a-2b)2=(50/3)2

  簡単にして、a2+b2=20/9 になります。

 四角形ABCDの面積は、AC・BD/2=80 だから、AC・BD=160 、

  (2a+11b)(11a+2b)=160 、22(a2+b2)+125ab=160 、

  22・20/9+125ab=8/9 になります。

 BC+AD=√{PB2+PC2}+√{PA2+PD2}

  =√{(2b)2+(11b)2}+√{(2a)2+(11a)2}

  =(5√5)(a+b)=(5√5)√(a2+b2+2ab)

  =(5√5)√(20/9+2・8/9)=10√5 になります。


[解答2]

 ACとBDの交点をP,CQを直径とします。

 方べきの定理より、PA・PC=PB・PD になります。

 CQ2=AC2+AQ2=(PA+PC)2+(PD-PB)2=PA2+2PA・PC+PC2+PD2-2PD・PB+PB2

 よって、PA2+PB2+PC2+PD2=2500/9 、

 すなわち、AB2+CD2=BC2+AD2=2500/9 になります。

 AB=2k,CD=11k とおくと、4k2+121k2=2500/9 、k2=20/9 、

 (AB+CD)2=169k2=3380/9 です。

 また、トレミーの定理と面積の条件から、AB・CD+BC・AD=AC・BD=2・80=160 です。

 次に、

 (AB+CD)2+(BC+AD)2=AB2+2AB・CD+CD2+BC2+2BC・AD+AD2

 (AB+CD)2+(BC+AD)2=(AB2+CD2)+(BC2+AD2)+2(AB・CD+BC・AD) 、

 3380/9+(BC+AD)2=2500/9+2500/9+2・160 、(BC+AD)2=500 、BC+AD=10√5 です。


[解答3]

 右下図のように、BDから下の左右を入れ換えます。

 対称性により、AとCの移った点を結ぶ(緑の線分)と直径になります。

 直角をはさむ2辺が 2,11 の三角形は、斜辺が 5√5 で 面積が 11 だから、

 直径の左側の直角三角形(黄色)の面積をSとすると、

 S:11=(50/3)2:(5√5)2=20:9 、S=220/9 、

 直径の右側の直角三角形(水色)の面積は、80-220/9=500/9 になり、

 BC・AD/2=500/9 、BC・AD=1000/9 になります。

 また、BC2+AD2=2500/9 です。

 (BC+AD)2=BC2+2BC・AD+AD2=2500/9+2・1000/9=500 、

 BC+AD=10√5 です。

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Comments 8

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古い人  
No title

やはり白は気品が有りますね。

この花を見ると流石カトレアだと思いますね。 ポチ。

アキチャン  
No title

おはようございます。
いいですね~~
シクラメンではありませんが、思わず・・・
♪真綿色した~・・って出てきました (o^-^o)
ポチ♪

ニリンソウ  
No title

白いカトレア?
品がありますね~大人しい感じです。
花って白もいい、赤もいい、どれも人の心を優しくしてくれます。 ポチ

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
属名カトレア、品種名アイリンウイルソンだそうです。
仰る通り気品がありますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
♪真綿色した~ そのような感覚もあるのですね。
私には思い浮かびませんでした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
どの色でもいいですね。
私は白が好きですが、真ん中の黄色が際立っています。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
このカトレアはほんとに純白できれいですね。アイリンなんてすてきな名前だし、貴婦人って感じ♡^^ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
そうか、貴婦人ですか。そんな見方をしてもらえれば花も喜びますね。