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[答225] 関数の最小値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答225] 関数の最小値


 f(x)=√(x2+9)+√(x2-6x+10) の最小値とそのときのxの値は?



[解答1]

 x2+9 も x2-6x+10=(x-3)2+1 も x≦0 のとき単調減少、3≦x のとき単調増加だから、

 0≦x≦3 の範囲で考えればよい。

 f'(x)=x/√(x2+9)+(x-3)/√(x2-6x+10)

    ={x√(x2-6x+10)-(3-x)√(x2+9)}/√{(x2+9)(x2-6x+10)}

 ここで、

   {x√(x2-6x+10)-(3-x)√(x2+9)}{x√(x2-6x+10)+(3-x)√(x2+9)}

   =x2(x2-6x+10)-(3-x)2(x2+9)=-(4x-9)(2x-9)

 だから、

 f'(x)=-(4x-9)(2x-9)/√{(x2+9)(x2-6x+10)}{x√(x2-6x+10)+(3-x)√(x2+9)}

 0≦x<9/4 のとき f'(x)>0,9/4<x≦3 のとき f'(x)<0 だから、

 x=9/4 のとき、最小値 f(9/4)=5。


[解答2]

 f(x)=√(x2+9)+√{(x-3)2+1} だから、

 O(0,0),P(x,3),A(3,4) とすると、Pは直線 y=3 上にあって、f(x)=OP+PA 。

 従って、O,P,A が一直線上にある x=9/4 のとき、最小値は OA=5 となります。

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Comments 12

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古い人  
No title

今日の花はシンピジュウムですね。

此花も正月を飾る花として今では多く出回って居ますね。

花形も大きくて綺麗ですね ポチ。

アキチャン  
No title

おはようございます。
鮮やかなピンク色できれいですネ~ (o^-^o) ポチ♪

tsuyoshik1942  
No title

解答「2」納得。
問題提示時のリコメに、図形解法の示唆がありましたが思い浮かびませんでした。この問題に関しては、自分は答は見つけたに過ぎません。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
もう少しだけ蘭の画像がありますので、使おうと思っています。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
蘭の花が沢山集まると豪華ですね。

ヤドカリ  
No title

tsu*o*hi*194*さん、早速のコメントを有難う御座います。
2つの線分の長さの和になっている時は、なんとか意味づけしたいものです。

ゆうこ つれづれ日記  
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こんばんは~~~
今日のシンブジュームのお花の色や形
とてもいいわ~。お花が大きいですね~~
私の家のシンブジュームもこのようにきれいにいっぱい花をつけようと思ったのですが
いままで、花盛りにしたことがないです。
ポチッ☆

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
これは植物園で撮ったものです。
流石に専門の人たちはうまく育てるものですね。

ニリンソウ  
No title

こんばんは~シンピジュームですね。
ふっくら立派な花ですね~うちで咲くのはやせっぽち!
ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
ま、私は撮影するだけですから気が楽です。
ニリンソウさんの庭にも立派に咲けばいいですね。

いっちゃん  
No title

おはようございます。。
あ!この色は、我が家で咲いてる色と同じです。蕾がたくさんあったのですが、もうひとつきになるので、開いてしまいました。
3本開くとすごく可愛くてきれいですね。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
家で蘭が咲いている光景はいいですね。
私は育てられないので、専ら撮るだけです。