[答225] 関数の最小値

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[答225] 関数の最小値


　f(x)＝√(x²＋9)＋√(x²－6x＋10) の最小値とそのときのｘの値は？



[解答1]

　x²＋9 も x²－6x＋10＝(x－3)²＋1 も x≦0 のとき単調減少、3≦x のとき単調増加だから、

　0≦x≦3 の範囲で考えればよい。

　f'(x)＝x/√(x²＋9)＋(x－3)/√(x²－6x＋10)

　 　 ＝{x√(x²－6x＋10)－(3－x)√(x²＋9)}/√{(x²＋9)(x²－6x＋10)}

　ここで、

　 　{x√(x²－6x＋10)－(3－x)√(x²＋9)}{x√(x²－6x＋10)＋(3－x)√(x²＋9)}

　 　＝x²(x²－6x＋10)－(3－x)²(x²＋9)＝－(4x－9)(2x－9)

　だから、

　f'(x)＝－(4x－9)(2x－9)/√{(x²＋9)(x²－6x＋10)}{x√(x²－6x＋10)＋(3－x)√(x²＋9)}

　0≦x＜9/4 のとき f'(x)＞0，9/4＜x≦3 のとき f'(x)＜0 だから、

　x＝9/4 のとき、最小値 f(9/4)＝5。


[解答2]

　f(x)＝√(x²＋9)＋√{(x－3)²＋1} だから、

　O(0,0),P(x,3),A(3,4) とすると、Pは直線 y＝3 上にあって、f(x)＝OP＋PA 。

　従って、O,P,A が一直線上にある x＝9/4 のとき、最小値は OA＝5 となります。

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