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[答21] 外接円の半径

ヤドカリ

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[答21] 外接円の半径



 上の図は、半径10cmの円に内接する△ABCのがあって、

 頂点から対辺に垂線AE,BF,CGをおろしたものです。

 BC=16cm, AE=14cm のとき、△EFGの外接円の半径は?




[解答]

 BC,CA,AB,AH,BH,CH、それぞれの中点を、L,M,N,P,Q,R とします。

 中点連結定理より、NM//BC,QR//BC、中点連結定理より、NQ//AH,MR//AH。

 また、BC⊥AH。よって、NM//QR⊥NQ//MR。

 これは、四角形MNQR が長方形であることを表します。

 よって、M,N,Q,R は同一円周上にあって、MQ,NR はその直径になります。

 同様にして、四角形NLRP も長方形で、

 N,L,R,P は同一円周上にあって、NR,LP はその直径になります。

 結局、L,M,N,P,Q,R は同一円周上にあり、その円の直径は、LP,MQ,NRです。

 また、∠LEP=∠MFQ=∠NGR=90°だがら、E,F,G も同じ円周上にあります。

 この9点 E,F,G,L,M,N,P,Q,R を通る円を九点円(フォイエルバッハの円)といいます。

 △EFGの外接円は、△LMN(or △PQR)の外接円としても同じです。

 △LMN∽△ABC(or △PQR∽△ABC) で相似比は1:2、答は 10/2=5cm です。

 BC,AEの長さはこの問題の答に関係のない長さでした。
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Comments 2

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uchinyan  
No title

解説をありがとうございます。
そういえば,「九点円」ってありましたねぇ。すっかり忘れていました。
なお,私の証明は,図に依存しますが,△LMN の外心を O としたとき,
O から BC, MN に,N から BC に,それぞれ下ろした垂線の足を X. Y,Z とすると,
MY = NY = BC/4,BZ = BE/2,BX = BZ +ZX = BZ + NY = BC/4 + BE/2,
LX = BX - BL = BE/2 - BC/4,EX = BE - BX = BE/2 - BC/4 で,LX = EX
OX⊥LE だったので,OL = OE
同様にして,OM = OF,ON = OG で,O は △EFG の外心にもなり,外接円は共通。
という,泥臭いものでした。

ヤドカリ  
No title

uchinyanさん、この証明は覚えていただけです。
ポイントである長方形が印象に残って……。