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[答232] 3数のうちの実数の値

ヤドカリ

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[答232] 3数のうちの実数の値


 (a+1)(b+1)(c+1)=29, (a+2)(b+2)(c+2)=66, (a+3)(b+3)(c+3)=127 を満たす

 a,b,c のうち、実数のものの値は?



[解答1]

 計算を簡単にするために、a+2=A,b+2=B,c+2=C とおきますと、

 (A-1)(B-1)(C-1)=29, ABC=66, (A+1)(B+1)(C+1)=127 になります。

 展開して、ABC+BC+CA+AB+A+B+C+1=127, ABC-BC-CA-AB+A+B+C-1=29 になり、

 引くと、2(BC+CA+AB+1)=98、BC+CA+AB=48、

 よって、66+48+A+B+C+1=127、A+B+C=12 になります。

 従って、A,B,C は、x3-12x2+48x-66=0 の解になります。

 式変形して、(x-4)3=2、実数解は、x=4+3√2 です。

 これが、a+2=A,b+2=B,c+2=C のうちの実数のものだから、

 a,b,c のうちの実数のものは、2+3√2 です。


[解答2] 再出発さん・crazy_tomboさんの解答より

 そのまま展開して簡単にすると、

 abc+(bc+ca+ab)+(a+b+c)=28, abc+2(bc+ca+ab)+4(a+b+c)=58,

 abc+3(bc+ca+ab)+9(a+b+c)=100 ですので、

 (bc+ca+ab)+3(a+b+c)=30, (bc+ca+ab)+5(a+b+c)=42 となって、

 a+b+c=6, bc+ca+ab=12,abc=10 になります。

 従って、a,b,c は、x3-6x2+12x-10=0 の解になります。

 式変形して、(x-2)3=2、実数解は、x=2+3√2 です。

 a,b,c のうちの実数のものは、2+3√2 です。

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Comments 16

There are no comments yet.
古い人  
No title

今日の薔薇も綺麗ですね。

とても輝いて見えます。 ポチ。

スモークマン  
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グーテンモルゲン ^^
この問題は目から鱗でしたが...^^;v...
特殊な3次方程式の解法なんですね...?

(x-2)=t とおけば...
t^3=(2^(1/3)^3
x=2+2^(1/3), 2+ω*2^(1/3), 2+ω^2*2^(1/3)
となるわけですね...^^v

アキチャン  
No title

おはようございます。
綺麗な色!ほんと、輝いています (o^-^o) ポチ♪

wind156  
No title

三次方程式がそんなにきれいに解けるとは…

黒翼  
No title

お久しぶりです.やっと,ヤドカリさんのブログを訪問する時間ができました.

相変わらず,お見事な解法ですね.勉強になります.

今週末は,時間がありそうなので,今までの問題の復習をしていきたいと思います.

234番の問題を考えていたのですが,まったく歯が立ちませんでした.

ニリンソウ  
No title

暖かそうな色ですよ、眩しいなぁ~
いつも陽射しがあっていいですね。
ポチ

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この薔薇は、フリュイテというそうです。フランスらしい名前ですね。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントを有難う御座います。
3次方程式は理論的にはすべて解けますが、
適度に簡単な形で解けるのを見つけるのは難しいです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
赤の中の黄色が輝いて見えます。
意図したわけではありませんが、うまく撮れたと思います。

ヤドカリ  
No title

wind156さん、早速のコメントを有難う御座います。
簡単な形で解けるものを見つけられたので出題しました。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
こちらこそお久しぶりです。ブログに全然かかわっておられなかったので、
時間が自由に使えないのだろうと解しておりました。
貴殿の勉強の助けになれば幸いです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
赤と黄色は仰る通り暖かく見えます。
殺風景なので花を添えているだけですが、いつもコメントを頂いていることを感謝しています。

こっこちゃん  
No title

( ^-^)ノ(* ^-^)ノこんばんわぁ♪
今日の バラ すばらしい~~

元気貰えました~~ ポチ

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
赤と黄色は元気色ですね。
日南の方は日差しが強くなってきているのではないですか?

いっちゃん  
No title

こんばんは。
すごく光沢のあるバラの花ですね。。こちらも今日は
暖かったです。これから春の日をいっぱい浴びた花たちに
出会えますね^^ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
この頃、こちらでも暖かくなり、日差しも明るくなってきました。
春ですねぇ。