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[答233] 2枚のカードの数が一致する確率

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答233] 2枚のカードの数が一致する確率



 数1を書いたカードが1枚,数2を書いたカードが2枚,数3を書いたカードが3枚,……,

 数 20 を書いたカードが 20 枚の合計 210枚のカードのうちから2枚を取り出すとき、

 取り出した2枚のカードに書かれた数が等しい確率は?



[解答1]

 取り出し方は全部で、2102=210・209/2=105・209 通りです。

 取り出した2枚が 20,19,……,2 である場合の数の総和は、

 202192+……+22 ですが、これは、見方を変えると、

 1,2,3,……,21 の中から3数を選ぶのに、

 最大値が21の場合,最大値が20の場合,……,最大値が3の場合 に、

 場合分けして考えるとこの式になるから、

 202192+……+22213=21・20・19/6=7・10・19 通りです。

 従って確率は、7・10・19/(105・209)=2/33 となります。 


[解答2]

 (1枚ずつ取り出して)取り出し方を順列で考えると、210・209 通りです。

 取り出した2枚が 20,19,18,……,3,2 である場合の数の総和は、

 20・19+19・18+18・17+……+2・1

  ={20・19・(21-18)+19・18・(20-17)+18・17・(19-16)+……+3・2・(4-1)+2・1・3}/3

  =(21・20・19-20・19・18+20・19・18-19・18・17+19・18・17-18・17・16+……+4・3・2-3・2・1+3・2・1)/3

  =21・20・19/3=7・20・19

 従って確率は、7・20・19/(210・209)=2/33 となります。 


[一般化]

 数1のカードが1枚,数2のカードが2枚,数3のカードが3枚,……,数nのカードがn枚の

 合計 n(n+1)/2 枚のカードのうちから2枚を取り出すとき、

 取り出した2枚のカードに書かれた数が等しい確率は、

 取り出し方は全部で、

 1+2+3+……+n2=(1+2+3+……+n)(2+3+……+n)/2

  ={(1+n)n/2}{(2+n)(n-1)/2}/2=(n+2)(n+1)n(n-1)/8 通りです。

 そのうち、取り出した2枚のカードに書かれた数が等しい場合は、

 n+13=(n+1)n(n-1)/6 通りです。

 従って、確率は、{(n+1)n(n-1)/6}/{(n+2)(n+1)n(n-1)/8}=4/{3(n+2)} になります。

 意外に簡単な結果になりました。

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Comments 10

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古い人  
No title

今日の黄色の薔薇とても綺麗です。

元気の出る色ですね、黄色にポチ。

アキチャン  
No title

おはようございます。
あたたかな日差しが感じられます (o^-^o)
春が近づいてきましたね♪ ポチ

黒翼  
No title

この問題は解けそうでしたね.(解答が出てからいうことではないのですが…)

235番に挑戦してみたいと思います.

ニリンソウ  
No title

いつもいつも丁度いい咲き加減の花を撮られていますね。
それもなかなか出会わないものですが。
黄色いバラもいいですね。 ポチ

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
春は黄色が目立ちますね。元気の出る色です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
また、梅の写真をアップしました。ご覧下さいね。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
この問題、ぜひ一般化まで解いてもらいたい問題です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
この薔薇は色の通り、ゴールド・バニーという名前がついています。
咲き加減については、いい薔薇だけを撮りました。
大きく開いているのは撮っていません。

こっこちゃん  
No title

( ^-^)ノ(* ^-^)ノこんばんわぁ♪

ゴールドハニー バラ 素敵ですね”

黄色は元気印 ですよね” ありがとうのポチ

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、こちらにもコメントとポチを有難う御座います。
うん、黄色は元気印です。春間近です。