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[答234] 内接円との接点

ヤドカリ

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[答234] 内接円との接点


 △ABCの内接円とBC,CA,ABとの接点をそれぞれD,E,Fとすると、AD,BE,CFは1点で交わります。

 その交点をPとし、BC=7,CA=9,AB=10 とするとき、面積比、△PBC:△PCA:△PAB=?


[解答]

 AE=AF=a,BF=BD=b,CD=CE=c とすれば、b+c=7,c+a=9,a+b=10 、

 従って、a+b+c=13 、a=6,b=4,c=3 になります。

 メネラウスの定理より、

 (AP/PD)(DB/BC)(CE/EA)=1 、(AP/PD)(4/7)(3/6)=1 、AP/PD=7/2 、△PBC=(2/9)△ABC 、

 (BP/PE)(EC/CA)(AF/FB)=1 、(BP/PE)(3/9)(6/4)=1 、BP/PE=2 、△PBC=(1/3)△ABC 、

 (CP/PF)(FA/AB)(BD/DC)=1 、(CP/PF)(6/10)(4/3)=1 、CP/PF=5/4 、△PBC=(4/9)△ABC

 となって、

 △PBC:△PCA:△PAB=(2/9):(1/3):(4/9)=2:3:4 になります。


☆ AD,BE,CFが1点で交わることは、チェバの定理の逆より明らかです。

 この交点を△ABCのジェルゴンヌ点といいます。ふじもさんのHPをご覧下さい。

 http://kikagaku.at-ninja.jp/triangle_geometry/Gergonne_point.html


☆ AE=AF=a,BF=BD=b,CD=CE=c とすれば、△PBC:△PCA:△PAB=bc:ca:ab になります。

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Comments 12

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古い人  
No title

今日の薔薇も綺麗ですね。

此花は秋の薔薇ですか綺麗に咲いてます。 ポチ。

アキチャン  
No title

おはようございます。
オレンジの香りがしてきそうですね (o^-^o) ポチ♪

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
バラずくしですね~オレンジのバラも今咲こうとして
いいお顔です。
ポチ

uch*n*an  
No title

「ジェルゴンヌ点」という名前は知りませんでした。勉強になります。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
薔薇は去年のPCの修理の前に撮ったものです。
そのままお蔵入りさせられなくて、今、その姿を見て頂いています。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難う御座います。
オレンジ色も暖かい感じがしますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
この薔薇はジャストジョイというそうです。オレンジ色もいいですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
ふじもさんの解答にアドレスがありましたので載せました。
少し見ただけですが、よく研究されていますね。

ふじも  
No title

HPを紹介して頂きありがとうございます。
ところで、当面は多忙のため参加頻度が減少する見込みです。
よろしくお願いいたします。

ヤドカリ  
No title

ふじもさん、コメントを有難う御座います。
貴殿のHPは宝の山です。
ただ、一つひとつ読みこなすにはかなりの時間がかかります。
なかなか私にはその時間がとれません。
このブログで出題するような問題を考えるとなると尚更です。
今回は問題を考えていて、3直線が1点で交わるので、特別な名前がついているのだろうと、
思っていました。ご指摘を受けて、ジェルゴンヌ点という名前を知りました。
関連があれば、今回のように教えて頂けると幸いです。

黒翼  
No title

メネラウスの定理を使えばよかったですね.

ずっと考えてたのですが,結局思いつきませんでした.

感覚が大分鈍ってきたようです.

ジェルゴンヌ点という名前は初めて聞きます.勉強になりました.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
このような図は、メネラウス・チェバです。
いろいろ考えると解き方が見えてくることがあります。