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[答22] 絶対値を含む積分

ヤドカリ

ヤドカリ








[答22] 絶対値を含む積分


            6
  定積分 |(x-1)(x-3)|(x-2)dx の値は?
            0


[解答]

 ∫06 |(x-1)(x-3)|(x-2)dx

 =∫01 (x-1)(x-3)(x-2)dx-∫13 (x-1)(x-3)(x-2)dx+∫36 (x-1)(x-3)(x-2)dx

 =∫01 (x3-6x2+11x-6)dx-∫13 (x3-6x2+11x-6)dx+∫36 (x3-6x2+11x-6)dx

 =……

 と計算するのが普通ですが、

 不定積分 ∫|(x-1)(x-3)|(x-2)dx=(x-1)(x-3)|(x-1)(x-3)|/4+C

 だから、06 |(x-1)(x-3)|(x-2)dx=54

 不定積分 ∫|f(x)|f '(x)dx=f(x)|f(x)|/2+C です。

 私でも思いついたのですが、書物やネットで見たことがありません。

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Comments 13

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サリー  
No title

葵の花ですか?やさしい色合いのピンクですね。眺めていたら、いい気持ちになってきました。丁度お昼寝時です。では失礼して・・・

ヤドカリ  
No title

花の名前は知らないのですが、
[21] 外接円の半径 の問題にも違う角度から撮ったものを使いました。
近くの公園で「撮って」と後ろから言われているようでした。

サリー  
No title

あら、姉も全く同じ質問をしていたのですね!

ヤドカリ  
No title

と、いうことで、年の近い美人姉妹と理解しておきます。

wind156  
No title

なるほど。
だからf(6)-f(4)=54 になるのですね。
何かしら図形的な意味があるのかと思っていました。

いっちゃん  
No title

美しい美人姉妹♪

途中までは、
計算は合ってたいたそうな~。。

おやすみなさい。

ヤドカリ  
No title

wind156さん、
不定積分 ∫|x|dx=x|x|/2+C を使うと場合分け不要、
というのが発想のはじまりです。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、「美人姉妹」の前に、「上の写真の花のような」もつけ加えておきます。

uch*n*an  
No title

うーん,一応確認したいのですが,不定積分はどうやって証明するのですか?

ヤドカリ  
No title

↑y=x|x|/2 を微分すれば、y'=|x|。あとは置換積分です。

uch*n*an  
No title

ごめんなさい。絶対値が入っているので,微分は,もう少し詳しくお願いします。

ヤドカリ  
No title

↑f(x)=x|x|/2 を微分すれば、というのは、
x>0 のとき、f(x)=x²/2、f'(x)=x=|x|。
x<0 のとき、f(x)=-x²/2、f'(x)=-x=|x|。
また、f'(0)=lim{f(Δx)-f(0)}/Δx=lim|Δx|/2=0
で、了解して頂けますか?

uch*n*an  
No title

はい,そこまで理解してのことなら,一応,いいと思います。
なお,老婆心ですが,デルタ関数というのはご存知ですか?
もしご存じなかったら,ちょっと気になさった方がいいかもしれません。