FC2ブログ

Welcome to my blog

[答235] 3点のx座標の値

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答235] 3点のx座標の値


 0<a<b<c,n>1 として、座標平面上の3点(a,an),(b,bn),(c,cn)を

 頂点とする三角形の面積をS(n)とします。

 S(2)=3 ,S(3)=30 ,S(4)=207 のとき、(a,b,c)=?


[解答]

 S(n)は2つのベクトル(b-a,bn-an),(c-a,cn-an)で作られる三角形の面積で、

 2S(n)=(b-a)(cn-an)-(bn-an)(c-a)

  =an(c-b)-a(cn-bn)+bc(cn-1-bn-1) だから、

 2S(2)=a2(c-b)-a(c2-b2)+bc(c-b)

  =(c-b)(b-a)(c-a)=2・3 、

 2S(3)=a3(c-b)-a(c3-b3)+bc(c2-b2)

  =(c-b)(b-a)(c-a)(a+b+c)=2・30 、

 2S(4)=a4(c-b)-a(c4-b4)+bc(c3-b3)

  =(c-b)(b-a)(c-a){(a+b+c)2-(bc+ca+ab)}=2・207

 となって、

 (c-b)(b-a)(c-a)=6 ,a+b+c=10 ,(a+b+c)2-(bc+ca+ab)=69 で、

 bc+ca+ab=31 になります。

 ここで、b=a+p ,c=b+q ,c=a+r とおくと、p>0,q>0,r=p+q で、

  (c-b)(b-a)(c-a)=6 より、pqr=6 、

  a+b+c=10 より、(b-p)+b+(c+q)=10 、3b=10+p-q 、

  bc+ca+ab=b(a+b+c)+ca-b2=10b+(b-p)(b+q)-b2

   =3b(10-p+q)/3-pq=(10+p-q)(10-p+q)/3-pq={100-(p-q)2}/3-pq=31

  となって、

  100-(p-q)2-3pq=93 、(p-q)2+3pq-7=0 、

  (p+q)2-pq-7=0 、(p+q)2r-pqr-7r=0 、

  r3-7r-6=0 、(r+1)(r+2)(r-3)=0 、

  r>0 だから、r=3 ,p+q=3 ,pq=2 となります。

  よって、(p,q)=(1,2),(2,1)、3b=10+p-q ,a=b-p ,c=b+q だから、

  (p,q)=(1,2) のとき、(a,b,c)=(2,3,5)、

  (p,q)=(2,1) のとき、(a,b,c)=(5/3,11/3,14/3) です。


[参考1] uch*n*anさんのコメントより

 (c-b)(b-a)(c-a)=6 ,a+b+c=10 ,bc+ca+ab=31 を求めたあとの別解です。

 b-a=x ,c-b=y ,a-c=z とおくと,x>0, y>0,z<0 で, xyz=-6,x+y+z=0,

 xy+yz+zx={(x+y+z)2-(x2+y2+z2)}/2=-{(b-a)2+(c-b)2+(a-c)2)}/2

  =-(a2+b2+c2-bc-ca-ab)=-{(a+b+c)2-3(bc+ca+ab)}=-7

 なので,x,y,z は次の t の三次方程式の解になります。

 t3-7t+6=0,(t-1)(t-2)(t+3)=0,t=1,2,-3

 これより,x>0, y>0,z<0 に注意し,a+b+c=10 も使って,

 (x,y,z)=(b-a,c-b,a-c)=(1,2,-3) のとき (a,b,c)=(2,3,5)

 (x,y,z)=(b-a,c-b,a-c)=(2,1,-3) のとき (a,b,c)=(5/3,11/3,14/3)

 になります。


[参考2]

 (c-b)(b-a)(c-a)=6 ,a+b+c=10 ,bc+ca+ab=31 を、(c-b)2(b-a)2(c-a)2=36

 として、対称性を重視して解くと次のようになります。

 abc=s とおくと、a,b,c は x3-10x2+31x-s=0 の解だから、

  a3-10a2+31a=s になります。b,c についても同様です。

 まず、bc=31-a(b+c)=31-a(10-a)=a2-10a+31 です。

 (b-a)(c-a)=bc-a(b+c)+a2=a2-10a+31-a(10-a)+a2=3a2-20a+31 、

 (c-b)2=(c+b)2-4bc=(10-a)2-4(a2-10a+31)=-3a2+20a-24 、

 (c-b)2(b-a)2(c-a)2

  =(-3a2+20a-24)(3a2-20a+31)2

  =-27a6+540a5-4374a4+18320a3-41747a2+48980a-23064

  =-27(a3-10a2+31a)2+1580(a3-10a2+31a)-23064

  =-27s2+1580s-23064

 よって、-27s2+1580s-23064=36 、27s2-1580s+23100=0 、

  (s-30)(27s-770)=0 、s=30,770/27 です。

 s=30 のとき、

  x3-10x2+31x-30=0 、(x-2)(x-3)(x-5)=0 、x=2,3,5

 s=770/27 のとき、

  x3-10x2+31x-770/27=0 、(x-5/3)(x-11/3)(x-14/3)=0 、x=5/3,11/3,14/3

 となって、小さい方から、a,b,c です。

 考え方はスッキリしていますが、計算は大変ですね。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
ゆうこ つれづれ日記  
No title

おはようございます。
今日は私の街もプラス気温の朝を向かえ
過ごしやすいです。

少し白いろが見える黄色い薔薇ですね。
珍しい薔薇の花に、ポチッ☆

ニリンソウ  
No title

クリーム色のバラ、こんなバラを咲かせられる人は
尊敬するなぁ~。 ポチ

uch*n*an  
No title

私も[解答]と同じですが,若干工夫しているので,ご参考までに書いておきますね。

uch*n*an  
No title

S(n) は,0 < a < b < c と,
n > 1 で y = x^n のグラフが x > 0 で下に凸より,台形の面積をもとにして,
S(n) = (a^n + c^n)(c - a)/2 - (b^n + a^n)(b - a)/2 - (c^n + b^n)(c - b)/2
= ((c^n - a^n)(b - a) - (b^n - a^n)(c - a))/2
n が自然数ならば
= (b - a)(c - a)((c^(n-1) - b^(n-1)) + ... + (c - b)a^(n-2))/2
そこで,
S(2) = (b - a)(c - a)(c - b) = 6
S(3) = (b - a)(c - a)(c - b)(a + b + c) = 60
S(4) = (b - a)(c - a)(c - b)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca) = 414
(b - a)(c - a)(c - b) = 6,a + b + c = 10,ab + bc + ca = 10^2 - 414/6 = 31

uch*n*an  
No title

ここで,b - a = x,c - b = y,a - c = z とおくと,x, y > 0,z < 0 で,
xyz = -6,x + y + z = 0,xy + yz + zx = - ((a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca)) = -7
なので,x,y,z は次の t の三次方程式の解になります。
t^3 - 7t + 6 = 0,(t - 1)(t - 2)(t + 3) = 0,t = 1, 2, -3
これより,x, y > 0,z < 0 に注意し,a + b + c = 10 も使って,
b - a = x = 1, c - b = y = 2, a - c = z = -3 のとき (a,b,c) = (2,3,5)
b - a = x = 2, c - b = y = 1, a - c = z = -3 のとき (a,b,c) = (5/3,11/3,14/3)
になります。

uch*n*an  
No title

なお,
>問題[237]は作成中です。もう少しお待ち下さい。
昨日は出題がなかったので,またPCがおかしくなったのかな,と心配でしたが,
どうやら大丈夫そうで安心しました。
お忙しいならば,あまりご無理をなさらないように。
もっとも,問題を練りに練って難しくしないでくださいね。仕事に支障が出るので (^^;

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これはけっきょく解けなかったです...^^;...
が...解答をみても...難しいぃ~~~^^;;;...
わたしには...難問でしたぁ...奇麗な問題ですのに...Orz...

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この薔薇にはヘルムート・シュミットという名札がついていました。
仰るアマツオトメをの違いは分かりませんが、よく似ていますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私のアイコンの色と確かに似ています。
下地を作る時に花の画像の一部を使ったら良かったかも知れません。

ヤドカリ  
No title

tsu*o*hi*194*さん、早速のコメントを有難う御座います。
(2,3,5)はともかく、(5/3,11/3,14/3)を方程式を解かずに見つけられたのは驚きです。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
こちらでも今日は暖かい1日でした。
といっても、こちらの気温は貴女にとっては暑いかもしれません。
黄色の花は暖かく見えますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
植物園で撮ったものと記憶しています。
仰る通り、こんな薔薇を育てられたらいいですね。
その前に、育てられるような広いくつろげる庭がほしいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
方程式を作るまではみなさん出来ていましたので、省略しましたが、
後半の解き方は[参考1]として追加させて頂きました。
私の[参考2]の方は、計算する気になりませんね。

ところで、ご心配をおかけして申し訳ありません。
> もっとも,問題を練りに練って難しくしないでくださいね。仕事に支障が出るので (^^;
そこのところの手加減が中々うまく出来ません。
それを思いのままにできる能力があればなぁ。。。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
方程式を解けなかったのは残念ですね。悔しさが伝わってきます。

こっこちゃん  
No title

こんばんは

今日は あまり気温が高くていやな気分です
気温は 季節に合ってるのがいいですよね

黄色の バラに ポチ

黒翼  
No title

出てきた条件はすべて合ってたのに…

(2,3,5)しか出ませんでした.

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
今の時期、厚着していますので気温が高いのも困ることもありますが、
寒さが緩むのは嬉しいことです。
黄色の薔薇、元気が出ますね。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
この問題は後半が難しいですね。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
なんか聴いたことがある名前だと思って検索したら
ドイツの首相と同じ名前なんですね。
美しいです。。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
そうでした。全然意識していませんでした。