[答235] 3点のx座標の値
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[答235] 3点のx座標の値
0<a<b<c,n>1 として、座標平面上の3点(a,an),(b,bn),(c,cn)を
頂点とする三角形の面積をS(n)とします。
S(2)=3 ,S(3)=30 ,S(4)=207 のとき、(a,b,c)=?
[解答]
S(n)は2つのベクトル(b-a,bn-an),(c-a,cn-an)で作られる三角形の面積で、
2S(n)=(b-a)(cn-an)-(bn-an)(c-a)
=an(c-b)-a(cn-bn)+bc(cn-1-bn-1) だから、
2S(2)=a2(c-b)-a(c2-b2)+bc(c-b)
=(c-b)(b-a)(c-a)=2・3 、
2S(3)=a3(c-b)-a(c3-b3)+bc(c2-b2)
=(c-b)(b-a)(c-a)(a+b+c)=2・30 、
2S(4)=a4(c-b)-a(c4-b4)+bc(c3-b3)
=(c-b)(b-a)(c-a){(a+b+c)2-(bc+ca+ab)}=2・207
となって、
(c-b)(b-a)(c-a)=6 ,a+b+c=10 ,(a+b+c)2-(bc+ca+ab)=69 で、
bc+ca+ab=31 になります。
ここで、b=a+p ,c=b+q ,c=a+r とおくと、p>0,q>0,r=p+q で、
(c-b)(b-a)(c-a)=6 より、pqr=6 、
a+b+c=10 より、(b-p)+b+(c+q)=10 、3b=10+p-q 、
bc+ca+ab=b(a+b+c)+ca-b2=10b+(b-p)(b+q)-b2
=3b(10-p+q)/3-pq=(10+p-q)(10-p+q)/3-pq={100-(p-q)2}/3-pq=31
となって、
100-(p-q)2-3pq=93 、(p-q)2+3pq-7=0 、
(p+q)2-pq-7=0 、(p+q)2r-pqr-7r=0 、
r3-7r-6=0 、(r+1)(r+2)(r-3)=0 、
r>0 だから、r=3 ,p+q=3 ,pq=2 となります。
よって、(p,q)=(1,2),(2,1)、3b=10+p-q ,a=b-p ,c=b+q だから、
(p,q)=(1,2) のとき、(a,b,c)=(2,3,5)、
(p,q)=(2,1) のとき、(a,b,c)=(5/3,11/3,14/3) です。
[参考1] uch*n*anさんのコメントより
(c-b)(b-a)(c-a)=6 ,a+b+c=10 ,bc+ca+ab=31 を求めたあとの別解です。
b-a=x ,c-b=y ,a-c=z とおくと,x>0, y>0,z<0 で, xyz=-6,x+y+z=0,
xy+yz+zx={(x+y+z)2-(x2+y2+z2)}/2=-{(b-a)2+(c-b)2+(a-c)2)}/2
=-(a2+b2+c2-bc-ca-ab)=-{(a+b+c)2-3(bc+ca+ab)}=-7
なので,x,y,z は次の t の三次方程式の解になります。
t3-7t+6=0,(t-1)(t-2)(t+3)=0,t=1,2,-3
これより,x>0, y>0,z<0 に注意し,a+b+c=10 も使って,
(x,y,z)=(b-a,c-b,a-c)=(1,2,-3) のとき (a,b,c)=(2,3,5)
(x,y,z)=(b-a,c-b,a-c)=(2,1,-3) のとき (a,b,c)=(5/3,11/3,14/3)
になります。
[参考2]
(c-b)(b-a)(c-a)=6 ,a+b+c=10 ,bc+ca+ab=31 を、(c-b)2(b-a)2(c-a)2=36
として、対称性を重視して解くと次のようになります。
abc=s とおくと、a,b,c は x3-10x2+31x-s=0 の解だから、
a3-10a2+31a=s になります。b,c についても同様です。
まず、bc=31-a(b+c)=31-a(10-a)=a2-10a+31 です。
(b-a)(c-a)=bc-a(b+c)+a2=a2-10a+31-a(10-a)+a2=3a2-20a+31 、
(c-b)2=(c+b)2-4bc=(10-a)2-4(a2-10a+31)=-3a2+20a-24 、
(c-b)2(b-a)2(c-a)2
=(-3a2+20a-24)(3a2-20a+31)2
=-27a6+540a5-4374a4+18320a3-41747a2+48980a-23064
=-27(a3-10a2+31a)2+1580(a3-10a2+31a)-23064
=-27s2+1580s-23064
よって、-27s2+1580s-23064=36 、27s2-1580s+23100=0 、
(s-30)(27s-770)=0 、s=30,770/27 です。
s=30 のとき、
x3-10x2+31x-30=0 、(x-2)(x-3)(x-5)=0 、x=2,3,5
s=770/27 のとき、
x3-10x2+31x-770/27=0 、(x-5/3)(x-11/3)(x-14/3)=0 、x=5/3,11/3,14/3
となって、小さい方から、a,b,c です。
考え方はスッキリしていますが、計算は大変ですね。
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