[答235] ３点のｘ座標の値

'


[答235] ３点のｘ座標の値


　0＜a＜b＜c，n＞1 として、座標平面上の３点(a，aⁿ)，(b，bⁿ)，(c，cⁿ)を

　頂点とする三角形の面積をS(n)とします。

　S(2)＝3 ，S(3)＝30 ，S(4)＝207 のとき、(a，b，c)＝？


[解答]

　S(n)は２つのベクトル(b－a，bⁿ－aⁿ)，(c－a，cⁿ－aⁿ)で作られる三角形の面積で、

　2S(n)＝(b－a)(cⁿ－aⁿ)－(bⁿ－aⁿ)(c－a)

　 ＝aⁿ(c－b)－a(cⁿ－bⁿ)＋bc(c^n-1－b^n-1) だから、

　2S(2)＝a²(c－b)－a(c²－b²)＋bc(c－b)

　 ＝(c－b)(b－a)(c－a)＝2･3 、

　2S(3)＝a³(c－b)－a(c³－b³)＋bc(c²－b²)

　 ＝(c－b)(b－a)(c－a)(a＋b＋c)＝2･30 、

　2S(4)＝a⁴(c－b)－a(c⁴－b⁴)＋bc(c³－b³)

　 ＝(c－b)(b－a)(c－a){(a＋b＋c)²－(bc＋ca＋ab)}＝2･207

　となって、

　(c－b)(b－a)(c－a)＝6 ，a＋b＋c＝10 ，(a＋b＋c)²－(bc＋ca＋ab)＝69 で、

　bc＋ca＋ab＝31 になります。

　ここで、b＝a＋p ，c＝b＋q ，c＝a＋r とおくと、p＞0，q＞0，r＝p＋q で、

　 (c－b)(b－a)(c－a)＝6 より、pqr＝6 、

　 a＋b＋c＝10 より、(b－p)＋b＋(c＋q)＝10 、3b＝10＋p－q 、

　 bc＋ca＋ab＝b(a＋b＋c)＋ca－b²＝10b＋(b－p)(b＋q)－b²

　 　＝3b(10－p＋q)/3－pq＝(10＋p－q)(10－p＋q)/3－pq＝{100－(p－q)²}/3－pq＝31

　 となって、

　 100－(p－q)²－3pq＝93 、(p－q)²＋3pq－7＝0 、

　 (p＋q)²－pq－7＝0 、(p＋q)²r－pqr－7r＝0 、

　 r³－7r－6＝0 、(r＋1)(r＋2)(r－3)＝0 、

　 r＞0 だから、r＝3 ，p＋q＝3 ，pq＝2 となります。

　 よって、(p，q)＝(1，2)，(2，1)、3b＝10＋p－q ，a＝b－p ，c＝b＋q だから、

　 (p，q)＝(1，2) のとき、(a，b，c)＝(2，3，5)、

　 (p，q)＝(2，1) のとき、(a，b，c)＝(5/3，11/3，14/3) です。


[参考1] uch*n*anさんのコメントより

　(c－b)(b－a)(c－a)＝6 ，a＋b＋c＝10 ，bc＋ca＋ab＝31 を求めたあとの別解です。

　b－a＝x ，c－b＝y ，a－c＝z とおくと，x＞0, y＞0，z＜0 で， xyz＝－6，x＋y＋z＝0，

　xy＋yz＋zx＝{(x＋y＋z)²－(x²＋y²＋z²)}/2＝－{(b－a)²＋(c－b)²＋(a－c)²)}/2

　 ＝－(a²＋b²＋c²－bc－ca－ab)＝－{(a＋b＋c)²－3(bc＋ca＋ab)}＝－7

　なので，x，y，z は次の t の三次方程式の解になります。

　t³－7t＋6＝0，(t－1)(t－2)(t＋3)＝0，t＝1，2，－3

　これより，x＞0, y＞0，z＜0 に注意し，a＋b＋c＝10 も使って，

　(x，y，z)＝(b－a，c－b，a－c)＝(1，2，－3) のとき (a，b，c)＝(2，3，5)

　(x，y，z)＝(b－a，c－b，a－c)＝(2，1，－3) のとき (a，b，c)＝(5/3，11/3，14/3)

　になります。


[参考2]

　(c－b)(b－a)(c－a)＝6 ，a＋b＋c＝10 ，bc＋ca＋ab＝31 を、(c－b)²(b－a)²(c－a)²＝36

　として、対称性を重視して解くと次のようになります。

　abc＝s とおくと、a，b，c は x³－10x²＋31x－s＝0 の解だから、

　 a³－10a²＋31a＝s になります。b，c についても同様です。

　まず、bc＝31－a(b＋c)＝31－a(10－a)＝a²－10a＋31 です。

　(b－a)(c－a)＝bc－a(b＋c)＋a²＝a²－10a＋31－a(10－a)＋a²＝3a²－20a＋31 、

　(c－b)²＝(c＋b)²－4bc＝(10－a)²－4(a²－10a＋31)＝－3a²＋20a－24 、

　(c－b)²(b－a)²(c－a)²

　 ＝(－3a²＋20a－24)(3a²－20a＋31)²

　 ＝－27a⁶＋540a⁵－4374a⁴＋18320a³－41747a²＋48980a－23064

　 ＝－27(a³－10a²＋31a)²＋1580(a³－10a²＋31a)－23064

　 ＝－27s²＋1580s－23064

　よって、－27s²＋1580s－23064＝36 、27s²－1580s＋23100＝0 、

　 (s－30)(27s－770)＝0 、s＝30，770/27 です。

　s＝30 のとき、

　 x³－10x²＋31x－30＝0 、(x－2)(x－3)(x－5)＝0 、x＝2，3，5

　s＝770/27 のとき、

　 x³－10x²＋31x－770/27＝0 、(x－5/3)(x－11/3)(x－14/3)＝0 、x＝5/3，11/3，14/3

　となって、小さい方から、a，b，c です。

　考え方はスッキリしていますが、計算は大変ですね。

.