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[答236] tan(11π/24)-2 の値

ヤドカリ

ヤドカリ



[答236] tan(11π/24)-2 の値


 tan(11π/24)-2=?


[解答1]

 図のように、AB=1 ,∠B=π/2 ,∠ACB=π/6 の直角三角形ABCの辺BCの延長上にD,Eをとって、

 二等辺三角形CAD,二等辺三角形DAE をつくると、BC=√3 ,CA=CD=2 です。

 AD2=AB2+BD2=1+(√3+2)2=8+4√3=(√2+√6)2

 よって、AD=DE=√2+√6 。

 また、∠AEB=(1/2)∠ADB=(1/4)∠ACB=π/24 だから、∠EAB=11π/24 、

 tan(11π/24)-2=BE-2=BC+CD+DE-2=√3+2+√2+√6-2=√2+√3+√6 です。

☆ 左下図のように、直角二等辺三角形から、π/6,π/3 の直角三角形と直角二等辺三角形を除くと、

 上図の△BADと相似な三角形ができます。

 π/6,π/3 の直角三角形の斜辺を 2√2 とすれば、各辺の長さが図のようになり、

 各辺を (√3+1)/2 倍すれば、AD=√6+√2 になります。

 こうすれば、2重根号の計算が必要ありません。


[解答2] uch*n*anさんの解答より

 中下図のように、ピンクの 1,2,√3 の三角形 と 水色の √2,√2,2 の三角形 の斜辺を合わせます。

 また、図のように点E,Fをとれば、△ADE∽△CDF で、相似比は 1:√3 だから、

 △FEDも 1:2:√3 の三角形となって、∠FEB=11π/24 になります。

 従って、tan(11π/24)=(√3+√2)/(√2-1)=(√3+√2)(√2+1)=√6+√3+2+√2 です。


[解答3] 公式を使って計算すると

 tan2(11π/24)={1-cos(11π/12)}/{1+cos(11π/12)}

  ={1-cos(11π/12)}2/{1-cos2(11π/12)}={1-cos(11π/12)}2/sin2(11π/12) 、

 tan(11π/24)={1-cos(11π/12)}/sin(11π/12)={1+cos(π/12)}/sin(π/12)

 ここで、

  1+cos(π/12)=1+cos(π/4-π/6)=1+cos(π/4)cos(π/6)+sin(π/4)sin(π/6)

   =1+(1/√2)(√3/2)+(1/√2)(1/2)=(2√2+√3+1)/(2√2) 、

  1/sin(π/12)=1/sin(π/4-π/6)=1/{sin(π/4)cos(π/6)-cos(π/4)sin(π/6)}

   =1/{(1/√2)(√3/2)-(1/√2)(1/2)}=(2√2)/(√3-1)=(√2)(√3+1)

 だから、

 tan(11π/24)=(√2)(√3+1)(2√2+√3+1)/(2√2)=(√3+1)(2√2+√3+1)/2

  =(√3+1)(√2)+(√3+1)2/2=√6+√2+2+√3 になります。


[解答4] 公式を使って計算すると(wind156さん,再出発さんのコメントより)

 tan2(π/8)={1-cos(π/4)}/{1+cos(π/4)}

  ={1-cos(π/4)}2/{1-cos2(π/4)}={1-cos(π/4)}2/sin2(π/4) 、

 tan(π/8)={1-cos(π/4)}/sin(π/4)=√2-1 (これは右下図からも分かります)、

 tan(11π/24)=tan(π/3+π/8)={tan(π/3)+tan(π/8)}/{1-tan(π/3)tan(π/8)}

  =(√3+√2-1)/{1-(√3)(√2-1)}=(√3+√2-1)(1+√3+√6)/{(1+√3-√6)(1+√3+√6)}

  =(2√3+4√2+2)/(2√3-2)=(√3+2√2+1)(√3+1)/{(√3-1)(√3+1)}

  =(4+2√2+2√3+2√6)/2=2+√2+√3+√6 になります。


[解答5] 公式を使って計算すると(crazy_tomboさんのコメントより)

 tan(2θ)=2tanθ/{1-tan2θ} の両辺の符号を変えて逆数にすると、

 tan(2θ-π/2)={tan2θ-1}/(2tanθ) だから、

 tan2θ-2tan(2θ-π/2)tanθ-1=0 になります。

 ここで、θ=11π/24 のとき、tan(2θ-π/2)=tan(5π/12)=2+√3 だから、

 tan2θ-2(2+√3)tanθ-1=0 の正の解を求めて、

 tanθ=2+√3+√{(2+√3)2+1}=2+√3+√(8+4√3)=2+√3+√6+√2 です。


.

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Comments 20

There are no comments yet.
uch*n*an  
No title

私は,最初は[解答4]で,公式を使う解法と図形による解法,
1:2:√3 と 2:2:2√2 を 2 の辺を重ねて 60 + 45/2 = 82.5°を作る,
でした。その後,計算が楽にならないかな,と思い,[解答1]も考えましたが,
[解答2]にたどり着きました。ただし,まずは辺の長さは与えないで,
tan(11π/24) = tan(82.5°) = BF/EB = (BC + CF)/EB
ここで EB = 1 とし,BC = AB = AE + 1,AB * √2 * 1/2 = AD = AE より,
(√2 - 1) * AE = 1,AE = 1 + √2,BC = AB = 2 + √2,CF = CD = AD * √3 = √3 + √6
tan(11π/24) = 2 + √2 + √3 + √6
としました。実質同じですが,頭の中では割り算よりも掛け算で解いています。
その後で,結局は,[解答3]が一番単純なような気がしています。
これを図形的に解釈すれば[解答1]ですね。
[解答5]は,簡単かどうかはともかく,面白い考え方ですね。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
なるぅ!!
図形的に示されると Aha!! ですね♪
解答2は...アクロバティックね...^^
思いつけない...^^;v
とにかく、tan15°が出さえすれば何とかなるだろって...
やどかりさんが奇麗に整頓して下ってますが...Orz~
最初...√(8+4√3) のところではたと思考停止がきたりしましたが...
問題番号から類推したりですったもんだでしたぁ...^^;...

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
白い薔薇の写真が1枚だけ残っていましたので使いました。
明日からは違う写真にしようと思っています。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
挫折した経験も重要です。また、解いて下さいね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私は基本的に白い花が好きです。この頃は目移りするようになりましたが。。。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
5月のGW頃には薔薇園に行かなくっちゃ。
その前にチューリップも、桜も、桃も、忙しいなぁ(笑)

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
> [解答1]も考えましたが,[解答2]にたどり着きました。
なんて、やはり貴殿は鬼才の持ち主ですね。
色々な解き方があって楽しめる問題ですが、解答を作るのは厄介です。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
勝手に推測してまとめました。
貴殿の意図に反していれば仰って下さいね。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

目が回りそうな数字が並んでいますね。
これを作るやどかりさんってすばらしい・・・・。
ポチッ☆

今日の白薔薇、清潔感があっていいわ~

uch*n*an  
No title

[解答1]は,あっさり書いてありますが,二重根号をはずすことになるのが気になりました。
でも,[解答3]の図形的な解釈になっているので,その意味で気に入っています。

スモークマン  
No title

やどかりさんへ ^^
スマートにまとめてくださって嬉しい限りです♪
わたしのは遠回りばっかりでしたのに...Orz~v

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
私としては、式を書くより図を描く方が大変です。
薔薇や梅でリフレッシュしなければなりません。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
直角二等辺三角形を
15゚,75゚ の直角三角形と,30゚,60゚ の直角三角形の斜辺が合わさるように、
15゚,75゚ の直角三角形と,30゚,60゚ の直角三角形と,直角二等辺三角形に分けることができます。
このとき、共通な斜辺を 2√2 にすれば、15゚,75゚ の直角三角形の辺の比が求められます。
こうすれば、2重根号は回避できます。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
貴殿のように2次方程式を解いて tanの半角を求められます。
ただ、そのうちのどちらを選ぶかを説明しないといけませんので
私は無意識のうちに避けていました。
貴殿のコメントでまとめることになった次第です。

いっちゃん  
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こんばんは。
純白のばらはとても美しいですね。
はっぱがギザギザしていないのですね^^
これから、春を待ちわびる花の季節ですね。。楽しみです。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
そうですね。今日から3月、春を待ちわびる花の季節です。

uch*n*an  
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>直角二等辺三角形を
>...
>こうすれば、2重根号は回避できます。
なるほど。これは面白いですねぇ。気付きませんでした。勉強になります。
ただ,今の[解答1]の記述との関係が見えないので,もったいないです。
折角なので,その方法も追加した[解答1]のバージョンも掲載されたらどうでしょう。
図がはみ出しちゃうからダメ ^^?
それに,[解答1]とそのまま組み合わせるには,値の与え方が不自然になる気もしますね。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
>直角二等辺三角形を...
意味掴めました♪
けっきょく...
tan(15/2)°=(√3-1)/(2√2+√3+1)
の分母を有理化すればいいということですよね...?
上手いことできない...^^;...

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
> 折角なので,その方法も追加した[解答1]のバージョンも掲載されたらどうでしょう。
ご忠告に従い、加筆しました。ご覧下さい。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
tan(15/2)゚=(√3-1)/(2√2+√3+1) の逆数をとれば、
tan(175/2)゚=(2√2+√3+1)/(√3-1) で、分母の有理化ができます。