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[答237] 線分の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ



[答237] 線分の長さ


 図のように、AB=1,AC=√3,∠BAC=90゚ の ∠BAC 内に点M,Nをとって、

 ∠MAC=∠NAB=30゚,∠MCA=10゚,∠NBA=20゚ になるように△MAC,△NAB を作ります。

 このとき、線分MNの長さを □cos10゚-√□ の形で表すと?

 必要であれば、sin3θ=4sinθsin(60゚+θ)sin(60゚-θ) を公式として使って下さい。


[解答]

 AB=1=2sin30゚=8sin10゚sin(60゚+10゚)sin(60゚-10゚)=8sin10゚sin70゚sin50゚ 、

 AC=√3=2sin60゚=8sin20゚sin(60゚+20゚)sin(60゚-20゚)=8sin20゚sin80゚sin40゚ です。

 △NABにおいて、正弦定理より、AN/sin20゚=AB/sin50゚ だから

  AN=ABsin20゚/sin50゚=8sin10゚sin20゚sin70゚ 、

 △MACにおいて、正弦定理より、AM/sin10゚=AC/sin40゚ だから

  AM=ACsin10゚/sin40゚=8sin10゚sin20゚sin80゚ 、

 簡単のため、8sin10゚sin20゚=k とおけば、AN=k・cos20゚,AM=k・cos10゚ です。

 △AMNにおいて、余弦定理より、

 MN2=k2cos220゚+k2cos210゚-2k2cos20゚cos10゚cos30゚

  =k2{1/2+(cos40゚)/2+1/2+(cos20゚)/2-(cos30゚+cos10゚)cos30゚}

  =k2{1+(cos40゚+cos20゚)/2-(cos30゚+cos10゚)cos30゚}

  =k2(1+cos30゚cos10゚-cos230゚-cos10゚cos30゚)=k2/4 、

 MN2=k/2=4sin10゚sin20゚=-2(cos30゚-cos10゚)=2cos10゚-√3 になります。


[参考1] sin3θ=4sinθsin(60゚+θ)sin(60゚-θ) の証明

 sin3θ=sin(θ+2θ)=sinθcos2θ+cosθsin2θ=sinθcos2θ+2sinθcos2θ

 =sinθcos2θ+sinθ(1+cos2θ)=sinθ(1+2cos2θ)=2sinθ(cos60゚+cos2θ)

 =2sinθ・2cos(30゚-θ)cos(30゚+θ)=4sinθsin(60゚+θ)sin(60゚-θ)


[参考2]

 AN:AM=sin70゚:sin80゚ で ∠NAM=30゚ です。

 ∠D=30゚,∠E=80゚,∠F=70゚ の 直径が1の円に内接する△DEF を作ると、

  DE=sin70゚,DF=sin80゚,EF=sin30゚ だから、

 AN:AM=DE:DF,∠NAM=∠EDF となって、△ANM∽△DEF です。

 相似比は 8sin10゚sin20゚:1 、従って MN=8sin10゚sin20゚sin30゚=4sin10゚sin20゚ です。


[参考3]

 図のように、一般に、

 ∠A=3α,∠B=3β,∠C=3γ の △ABC の内角の3等分線の交点で△LMN を作ります。

 当然、α+β+γ=60゚ です。

 外接円の半径を R とすれば、

 AB=2Rsin3γ=8Rsinγsin(60゚+γ)sin(60゚-γ) 、

 △NABにおいて、正弦定理より、AN/sinβ=AB/sin(α+β) だから

  AN=ABsinβ/sin(α+β)=ABsinβ/sin(60゚-γ)=8Rsinβsinγsin(60゚+γ) になります。

 △MACで同様にして、AM=8Rsinβsinγsin(60゚+β) を得ます。

 よって、AN:AM=sin(60゚+γ):sin(60゚+β) で ∠NAM=α です。

 ここで、∠D=α,∠E=60゚+β,∠F=60゚+γ の 直径が1の円に内接する△DEF を作ると、

  DE=sin(60゚+γ),DF=sin(60゚+β),EF=sinα だから、

 AN:AM=DE:DF,∠NAM=∠EDF となって、△ANM∽△DEF です。

 相似比は 8Rsinβsinγ:1 、従って MN=8Rsinαsinβsinγ です。

 同様に、LN=LM=8Rsinαsinβsinγ で、△LMN は必ず正三角形になります。

 これが、知る人ぞ知るモーリーの定理です。

.

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Comments 20

There are no comments yet.
再出発  
No title

2回連続リタイア・・・トホホ

スモークマン  
No title

同じく連続池ポチャ...^^;...
熟読玩味...~m(_ _)m~

アキチャン  
No title

おはようございます。
猫柳がバックと面白い写真になってますね (o^-^o)
ポチ♪

uch*n*an  
No title

私は二つの方法で解きました。
最初は,やることは比較的単純ですが計算が大変でした。
以下では単位の「°」を省略して,概略を書いておくと...
まず,正弦定理より,AM = √3 * sin10/sin40,AN = sin20/sin50,を出し,
次に,余弦定理より,
MN^2 = (3 * (sin10sin50)^2 + (sin20sin40)^2 - 3 * sin10sin50sin20sin40)/(sin40sin50)^2
ここで,x = cos20 とおいて,与えられた公式他の三角関数の公式と,
cos60 = 4 * (cos20)^3 - 3 * cos20,8x^3 - 6x - 1 = 0
を駆使すると,
MN^2 = - 8x^2 - 2x + 9

uch*n*an  
No title

さらに,t = cos10 とおき,
x = cos20 = 2 * (cos10)^2 - 1 = 2t^2 - 1
√3/2 = cos30 = 4 * (cos10)^3 - 3 * cos10,8t^3 - 6t - √3 = 0
を駆使して,
MN^2 = 4t^2 - 4√3 * t + 3= (2t - √3)^2
MN = 2 * cos10 - √3 = 0.237564…
計算が大変だっただけに,最後の結果が出たときの喜びはひとしおでした ^^/

uch*n*an  
No title

その後,改めて図を眺めていて,
MN が △ABC の各頂点の角の三等分線でできる三角形の一辺であることに気付き,
以前に解いたことのあるモーリーの定理を思い出して,[解答]のようにやりました。
以前に解いた際も,自力では解けず,ヒントをもらって解いたものです。
しかし,どんな三角形でも角の三等分線でできる三角形が正三角形になる,というのは,
実に美しい,また不思議な感じの定理ですね。
なお,△ABC の各頂点の二つの外角の三等分線の作る三角形も正三角形になるようです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
猫柳に近づけず、私のカメラではこれが限界でした。
でも、春を迎える写真にはなりました。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
私は知っているから、このような式変形ができました。
でないと、この式変形は中々できません。

ヤドカリ  
No title

再出発さん、早速のコメントを有難う御座います。
前の[236]は正解を出されていたはずですよ。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントを有難う御座います。
貴殿も前の[236]は正解を出されていたはずですよ。
この猫柳の前は池でした。そこに池ポチャ?

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
猫柳の新芽は春の訪れを感じさせます。
今日は非常に寒いですが確実に春は近付いています。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、詳しいコメントを有難う御座います。
> △ABC の各頂点の二つの外角の三等分線の作る三角形も正三角形になるようです。
その通りですね。内心に対して傍心があるように、
モーリーの正三角形も1つの内角と2つの外角の間にもできます。
その内角・外角の 1/3 をα,β,γとすれば、
その正三角形の1辺も、8Rsinαsinβsinγ になります。

再出発  
No title

> 前の[236]は正解を
あぁ、そうでした。
リタイアしたのは[235]でした。
途中までの段階でアップし、[236]を先に解いていたので
勘違いしていました。
それにしてもトホホです。

ヤドカリ  
No title

再出発さん、コメントを有難う御座います。
[238]がリハビリになったようですので、今後も解答コメントをお寄せ下さいね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^...
どうも...再出発さんのボールの軌跡と同じようですね...^^;...v
池ポチャは...その[235]でしたか...
かならず池に吸い込まれてたのを思い出したり...なはっ~Orz~

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
この問題は難しいですね。
めったに、公式等のヒントは書かないようにしているのですが、この問題は別でした。
ま、見方によれば、毎回ヒント付きかも知れません。

ニリンソウ  
No title

ネコヤナギよく見つけてきてくれました!
川に行ったらみんな切られていてがっくりしていたんです。
背景は山茶花かな~いい写真ですね。
ポチ

いっちゃん  
No title

うわぁ~可愛い猫やなぎ。。
光が入って、まるでロシアンブルーみたいです^^
こちらでもなかなか見つけられません。。
ありがとう♪
ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
背景の山茶花までよくお分かりですね。
ニリンソウさんの近くの川辺のが切られていたのは残念でしたね。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
そうですか。中々見られないのですか。
緑化センターの池の前にありました。