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[答243] 1/2187の循環節

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答243] 1/2187の循環節


 1/2187 の循環節の桁数は?


[解答]

 まず、2187=37 です。

 簡単な例として、1/33=0.037037037…… になりますので、

 1/33 の循環節は3桁で 037 です。また、037 を3で割ると1余ります。

 従って、それを3個並べた 037037037 は3で割り切れ、

 3で割った 012345679 が 1/34 の循環節で、これも3で割ると1余ります。

 一般に、nを3以上の自然数とし、

 1/3n の循環節が0から始まるa桁の数bで、bを3で割ると1余るものとすると、

 1/3n+1 の循環節はbを3つ並べた 3a 桁の数を3で割ったものになります。

 (10a-1)/3n=b だから、

 10a=3nb+1 、103a=33nb3+32n+1b2+3n+1b+1 、

 (103a-1)/3n+1=32n-1b3+3nb2+b 、

 これは、1/3n+1 の 3a 桁の循環節も3で割ると1余ることを示します。

 1/33 の循環節が 31 桁で、分母が3倍になるごとに循環節の桁数も3倍になるから、

 1/3n の循環節は 3n-2 桁です。(n=1 のときだけ例外です)

 従って、1/37 の循環節は 35=243 桁です。


[参考]

 1/2187 の243桁の循環節は、27桁ずつに区切ると以下の通りです。

  000457247370827617741197988
  111568358481938728852309099
  222679469593049839963420210
  333790580704160951074531321
  444901691815272062185642432
  556012802926383173296753543
  667123914037494284407864654
  778235025148605395518975765
  889346136259716506630086877

 このようになる理由は、

 243・1027=2187・111111111111111111111111111+243 を基準にして、

 1027=2187・000457247370827617741197988+244 、

 244・1027=2187(000457247370827617741197988+111111111111111111111111111)+487
       =2187・111568358481938728852309099+487 、

 487・1027=2187(111568358481938728852309099+111111111111111111111111111)+730
       =2187・222679469593049839963420210+730 、

   ………

 1702・1027=2187(667123914037494284407864654+111111111111111111111111111)+1945
       =2187・778235025148605395518975765+1945 、

 1945・1027=2187(778235025148605395518975765+111111111111111111111111111)+2188
       =2187・889346136259716506630086876+2188=2187・889346136259716506630086877+1

 から判断して下さい。

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Comments 17

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古い人  
No title

此の花は春一番の色ですね。

目の覚める様な色ですねさて何でしょう。

ケシでもなしポピーでもなさそうですね。 ?? ポチ。

黒翼  
No title

問題を解くのは比較的簡単でしたが,一般化して1/3^nの循環節が,3^(n-2)であることを確認するのは,僕には少し難しかったです.

いっちゃん  
No title

おはようございます。
1がいっぱい並ぶとバーコードみたいです。
(すみません、こんな表現で、、。)

ひなげしでしょうか。。春は確実に来ましたね。。
花ことばが「心の平静 慰め」だそうです。。ポチ

アキチャン  
No title

おはようございます。
数字も並ぶと表現しますね(笑)
黄色はやっぱり元気です! (o^-^o) ポチ♪

uch*n*an  
No title

背景が黒になりましたね。節電モードなんでしょうか?
私の解法は,算数っぽく多少いい加減で,またアプローチの仕方も,例えば,
111111111 = 111 * 1001001,
111111111111111111111111111 = 111111111 * 1000000001000000001
...
11…(1 が 3^(n+1) 個)…11
= 11…(1 が 3^n 個)…11 * 10…(0 が 3^n - 1 個)…010…(0 が 3^n - 1 個)…01
の繰り返し,とかなり違いますが,
111 = 3 * 37
10…(0 が 3^n - 1 個)…010…(0 が 3^n - 1 個)…01 = 3 * (3 の倍数 + 1)
なので,実質は[解答]と同じなんだろうと思います。
要するに同じパターンの繰り返しなので,厳密には数学的帰納法。が自然ですよね。
なお,[参考]は面白い性質ですね。

ニリンソウ  
No title

ひなげしですか!
こんなあったかな日差しが降り注いだら被災地も少しは
救われるのにね。 ポチ

スモークマン  
No title

そうなのか...!!
背景の変貌は悲しみ/喪に服するって意味かと思ってましたが...
節電(エコ)モードなんですね ~m(_ _)m~v
わたしも倣おうかな...Orz~

uch*n*an  
No title

>背景の変貌は悲しみ/喪に服するって意味かと思ってましたが...
あ,そうか。その方が可能性が高そうですね。失礼しました。
関東にいると,毎日,停電,節電,に追われて対応に四苦八苦しているので,
そちらに気を取られてうっかり致しました。
背景を黒にしても,大して節電にならないかもしれないしね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花はアイスランドポピーと云います。
太陽をいっぱいに受けている姿に出会いました。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難うございます。
答が数値で出る問題にしていますが、本来、
「nが2以上の自然数のとき 1/3^n の循環節が,3^(n-2) 桁であることを証明しなさい」
の方がよいように思います。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
春が近づいていますね。被災地に暖かい光が降り注げばいいですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
「黄色はやっぱり元気です!」が、その通りであってほしいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、2度にわたってのコメントを有難う御座います。
背景を変更したのは、☆ ヤドカリの 気ままな数学 ☆ の下のメッセージが長くなったので、
以前の背景では見にくくなったからです。
意図していませんでしたが、仰る通りに、節電につながってくれれば有難いです。
このような時期ですので、明るい色を使うのは気がひけますが、
悲しみの意味を込めたわけではありません。
どちらかというと助かった方々が少しでも癒されてほしいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
被災地で雪が舞っている映像を見ると心が痛みます。
はやく暖かくなってほしいですね。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
背景の変更は↑に書いた通りです。

いっちゃん  
No title

アイスランドポピーを検索したら、18世紀に北極探検隊がシベリアでこの花を発見したことから付けられたそうです。
ポピーといえば、このアイスランドポピーのことを指すことが多いそうです。
シベリアの極寒地で咲いた花に、東北の寒さと重なり
こんな花を咲かせてほしいと願います。。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントを有難う御座います。
そうでしたか。
アイスランドポピーと書かれていたのでそのままポピーの一種かと思っていました。