FC2ブログ

Welcome to my blog

[答245] ガウス記号で表された数の和

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答245] ガウス記号で表された数の和


 [√1]+[√2]+[√3]+[√4]+[√5]+……+[√244]+[√245]=?



[解答1]

 [√1]=[√2]=[√3]=1、        [√1]+[√2]+[√3]=1・3=1(2・1+1) 、

 [√4]=[√5]=……=[√8]=2、     [√4]+[√5]+……+[√8]=2・5=2(2・2+1) 、

 [√9]=[√10]=……=[√15]=3、    [√9]+[√10]+……+[√15]=3・7=3(2・3+1) 、

     ……………………………………………………

 [√196]=[√197]=……=[√224]=14、 [√196]+[√197]+……+[√224]=14・29=14(2・14+1) 、

 [√225]=[√226]=……=[√245]=15、 [√225]+[√226]+……+[√245]=15・21 、

 よって、その和は、

 1(2・1+1)+2(2・2+1)+3(2・3+1)+……+14(2・14+1)+15・21

  =2(12+22+32+……+142)+(1+2+3+……+14)+315

  =2・14・15・29/6+14・15/2+315=2030+105+315=2450 となります。


[解答2]

 [√0]+[√1]+[√2]+[√3]+[√4]+[√5]+……+[√244]+[√245] と[√0]を加えて、

 [√245]=15 で、全部の項を 15 と考えると、15・246=3690 になります。

 [√224] までの 225 個は1小さく、[√195] までの 196 個は更に1小さく、……

 [√3] までの 4 個は更に1小さく、[√0] の 1 個は更に1小さいので、

 その和は、

 3690-(152+142+132+……+22+12)

  =3690-15・16・31/6=3690-1240=2450 となります。

☆ このようにして求めれば、

  [√0]+[√1]+[√2]+[√3]+[√4]+[√5]+……+[√(n-1)]+[√n]

  =(n+1)[√n]-[√n]([√n]+1)(2[√n]+1)/6=n[√n]-[√n]([√n]-1)(2[√n]+5)/6

.

スポンサーサイト



Comments 17

There are no comments yet.
古い人  
No title

今日はタンポポですね此のタンポポはこの頃。

白花が有るそうですね私は写真で見ましたが本物は未だです。

そうして洋種がはびこり在来種が少なく成って居るようですね。

ポチ。

アキチャン  
No title

おはようございます。
よく見られるようになりましたね (o^-^o)
ポチ♪

黒翼  
No title

おはようございます.只今起床しました.
昨日は夜遅くまで勉強していましたので,寝る前にこのブログにコメントしようと思いましたが,その前に寝てしまいました.

タンポポは懐かしい感じがしますね.最近は花などに目を向けることがほとんど無いので…

毎日数学の勉強のために訪れていますが,花のよさにも触れられているような気がします.

傑作押します.

黒翼  
No title

解答2も頭にあったのですが,解答1のほうが考えやすかったです.

規則性を見つければ,比較的すぐに答えは出ますね.
ただ,解答2から一般化の式が導ける事には気づきませんでした.

uch*n*an  
No title

私は[解答1]でした。[解答2]は,なるほど,です。
ただ,実は似たようなことも考えてはいました。
y = √x 又は y = x に対称な y = x^2 のグラフとその回りの格子点を数える解法です。
y = x^2 の方で説明すれば,
y = x^2 と y軸 の間を数えるのが[解答1],y = x^2 と x軸 の間を数えるのが[解答2],
になります。ただ,どちらも二乗の和を計算する手間は同じなので,似たようなものか,
と思って,解答時には書きませんでした。まぁ,若干計算が楽かなぁ。
なお,当然ですが,[解答1]の一般化も容易で,同じ結果になります。

こっこちゃん  
No title

こんにちは

タンポポ 春を 告げてくれましたね”
野に咲く花は 好きなのですよ” ポチ

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
すぐにセイヨウタンポポと分かりましたか。
こちらでもカンサイタンポポは珍しくなっています。
シロバナタンポポは九州に多いと聞きます。
こちらでは大阪城公園にいったらよく見かけます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
タンポポは春だけではありませんが、咲き始めると春がきたなぁと思います。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
[解答1]からでも一般化できますが、[解答2]の方が一般化しやすいと思います。
なお、このブログが数学の勉強になれば幸いです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
[解答1]と[解答2]を合わせると公式が導けます。
そこまで書く必要がないと思って、省略しましたが、
1^2+2^2+……+n^2=S として、
[√0]~[√(n^2-1)]の和を、
[解答1]で求めると、1(2・1+1)+2(2・2+1)+……+(n-1){2(n-1)+1}
=2(S-n^2)+(n-1)n/2
[解答2]で求めると、n^3-S だから、
2(S-n^2)+(n-1)n/2=n^3-S、
こうして、Sをnの式で表せます。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
私も、誰にも育てられないで逞しく咲く野の花が好きです。
ただ、見られる種類が少なく、ブログに毎日載せようとすると、
植物園や温室がが最高です。笑

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんばんは~~
お久しぶりです。

春を感じる「たんぽぽ」が咲いたんですね。
私のところでは、まだまだ葉もでていないですよ~
ポチッ☆

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
道端や空き地にに春の草花が咲きだしています。
タンポポも初めてではないのですが、撮りたいと思う花に出会いました。

ニリンソウ  
No title

タンポポ見つけに歩いてこようかな♪
つくしはどうですか? そちらでは出ているのかな!
ポチ。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
タンポポはあちこちに咲いています。
土筆はみかけないなぁと思っていたら、普段通る道から少し離れた所に沢山ありました。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
たんぽぽ。。そうですね。思いだしました。セイヨウタンポポがたくさん咲いてた去年を。。
1年過ぎるのが早いです。。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
「1年過ぎるのが早いです」に同感です。。。