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[答246] 任意と存在

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答246] 任意と存在


 0≦x≦3 の範囲で、f(x)=2x2-4x+6 ,g(x)=-x2+4x+2p と定めます。

 次のそれぞれの条件を満たす場合の定数項pの最大の値は?

 ただし、a,bについては、0≦a≦3 ,0≦b≦3 の範囲の実数で考えるものとします。

  (1) 任意のa,bについて f(a)≧g(b) を満たす場合

  (2) 任意のaについて f(a)≧g(b) を満たす実数bが存在する場合

  (3) 任意のbについて f(a)≧g(b) を満たす実数aが存在する場合

  (4) f(a)≧g(b) を満たすa,bが存在する場合


[追加]

  (a) 任意のaについて f(a)≧g(a) を満たす場合

  (b) f(a)≧g(a) を満たすaが存在する場合


[解答]

 まず、0≦x≦3 の範囲での最大値・最小値を求めておきます。

 f(x)=2x2-4x+6=2(x-1)2+4 だから、

  x=3 のとき、最大値 12 、x=1 のとき、最小値 4 。

 g(x)=-x2+4x+2p=-(x-2)2+4+2p だから、

  x=2 のとき、最大値 4+2p 、x=0 のとき、最小値 2p 。

 (1) f(x)の最小値≧g(x)の最大値 という意味で、4≧4+2p 、p≦0 になります。

 (2) f(x)の最小値≧g(x)の最小値 という意味で、4≧2p 、p≦2 になります。

 (3) f(x)の最大値≧g(x)の最大値 という意味で、12≧4+2p 、p≦4 になります。

 (4) f(x)の最大値≧g(x)の最小値 という意味で、12≧2p 、p≦6 になります。

 従って、pの最大の値は、(1) 0 (2) 2 (3) 4 (4) 6 です。


 f(x)-g(x)=3x2-8x+6-2p=3(x-4/3)2+2/3-2p だから、

  x=3 のとき、最大値 9-2p 、x=4/3 のとき、最小値 2/3-2p 。

 (a) f(x)-g(x)の最小値≧0 という意味で、2/3-2p≧0 、p≦1/3 になります。

 (b) f(x)-g(x)の最大値≧0 という意味で、9-2p≧0 、p≦9/2 になります。

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Comments 14

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古い人  
No title

綺麗なホトケノザですね。

此の花はシソ科のオドリコ草属の一年草ですね。

雑草でもこうしてアップして貰い。

喜んでいる事でしょう。 ポチ。

アキチャン  
No title

おはようございます。
ホトケノザは一面に咲いているときれいですネ (o^-^o)
ポチ♪

黒翼  
No title

任意,存在という言葉の意味が重要ですね.

「任意」の時は,どんな場合でも成り立たないといけない.
「存在する」の時は,少なくともどこか一つで成り立てばいい.

合ってるかな?
この問題は計算もそう大変ではないので,解きやすかったです.

ニリンソウ  
No title

ホトケノザよく見ると素敵な花ですよね。
春なんだね~~~ヤドカリさんも道端で花撮るようになったなんだかうれしい春です。
ポチ

ゆうこ つれづれ日記  
No title

ホトケノザはこんなに密集して咲いているのですね。
春になると、私の街にもホトケノザが咲くようですが
まだであったことがないです。
ピンクの色と花の可愛らしさが好き。
ポチ☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ホトケノザは春先に咲くポピュラーな野草ですね。
群生していると見事です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ある団体の管理地にもっとたくさん群生しているのを遠くから見ましたが、見事でした。
ただ、そこは近づけなくて撮れませんでした。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
ご存知でしょうが、記号では∀,∃を使います。
∀x:P(x) は P(x) がすべての(all)xに対して真であることを意味し、
∃x:P(x) は P(x) が真であるようなxが少なくとも1つ存在する(exists)ことを意味します。
頭文字を上下逆にする独特の記号ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
私は放置されても逞しく咲く野草が好きなのですが、
写真として載せるほどたくさんの種類は見つかりません。
やはり、植物園・温室ですね。笑

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
もっとたくさん群生している所があったのですが、近づけなくて撮れませんでした。
紫の絨毯のようです。

いっちゃん  
No title

紫色の可愛い花ですね。。
面白い名前ですよね。どうして仏の座なんでしょう。。
考えたら眠れないから考えないでおきます。。笑ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
茎を包み込むようになっている花の下にある葉を仏の蓮華座に見立てた名前だそうです。
花が数段につくことから、サンガイグサ(三階草)の別名があるそうです。

いっちゃん  
No title

ありがとうございました^^

ヤドカリ  
No title

どういたしまして。