FC2ブログ

Welcome to my blog

[答247] 方程式を満たす角の三角関数の値

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答247] 方程式を満たす角の三角関数の値


 aを定数として、4cosθ+3sinθ=a,-π<θ<π を満たすθが2つあるとき、

 そのθの値をα,βとすると、tan(α+β)=?



[解答1]

 4cosα+3sinα=4cosβ+3sinβ 、4(cosα-cosβ)+3(sinα-sinβ)=0 、

 -8sin(α/2+β/2)sin(α/2-β/2)+6cos(α/2+β/2)sin(α/2-β/2)=0 、

 ここで、α≠β,-π<α/2-β/2<π だから、-2sin(α/2-β/2)≠0 で割って、

 4sin(α/2+β/2)-3cos(α/2+β/2)=0 、tan(α/2+β/2)=3/4 です。

 tan(α+β)=2tan(α/2+β/2)/{1-tan2(α/2+β/2)}=(2・3/4)/(1-9/16)=24/7 です。


[解答2]

 4cosθ+3sinθ=a 、(4/5)cosθ+(3/5)sinθ=a/5 、

 γを cosγ=4/5,sinγ=3/5 を満たす鋭角とすると、

 cos(θ-γ)=a/5 、cos(α-γ)-cos(β-γ)=0 、-2sin(α/2+β/2-γ)sin(α/2-β/2)=0 、

 ここで、α≠β,-π<α/2-β/2<π だから、-2sin(α/2-β/2)≠0 、

 従って、sin(α/2+β/2-γ)=0 、

 ここで、-π-γ<α/2+β/2-γ<π-γ だから、α/2+β/2-γ=0,-π 、

 α/2+β/2=γ,γ-π 、いずれの場合も、tan(α/2+β/2)=tanγ=3/4 です。


[解答3]

 tan(θ/2)=t とおくと、cosθ=(1-t2)/(1+t2),sinθ=2t/(1+t2) だから、

 4(1-t2)/(1+t2)+6t/(1+t2)=a 、4(1-t2)+6t/=a(1+t2) 、

 (a-4)t2+6t+(a+4)=0 になります。

 この方程式の解が、tan(α/2),tan(β/2) だから、解と係数の関係により、

 tan(α/2)+tan(β/2)=-6/(a-4),tan(α/2)tan(β/2)=(a+4)/(a-4) になります。

 tan(α/2+β/2)={tan(α/2)+tan(β/2)}/{1-tan(α/2)tan(β/2)}

  ={-6/(a-4)}/{1-(a+4)/(a-4)}=-6/{(a-4)-(a+4)}=3/4 です。


[解答4]

 cosθ=x,sinθ=y として、

 直線 4x+3y=a と円 x2+y2=1 の交点を A,B とすると、

 A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ) と表されます。

 更に、原点をO,ABの中点をMとすると、OM⊥AB すなわち OM⊥直線4x+3y=a だから、

 その傾きは、tan{(α+β)/2}=3/4 です。


[解答5]

 直線 4x+3y=a と円 x2+y2=1 の交点を A,B とし、

 O(0,0),P(4,3),A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ) とすると、

 OPAB=4(cosβ-cosα)+3(sinβ-sinα)=(4cosβ+3sinβ)-(4cosα+3sinα)=a-a=0 だから、

 よって、OP⊥AB 、円の中心を通る直線OPが円の弦ABと垂直なので、OPはABの中点を通り、

 その傾きは、tan{(α+β)/2}=3/4 です。

.

スポンサーサイト



Comments 15

There are no comments yet.
古い人  
No title

今朝の花は何でしょう。

雑草の仲間ですが名前が解りません。

可愛い花ですね。ポチ。

アキチャン  
No title

おはようございます。
そうですね、名前はわからないのか、忘れたのか・・?
それも分かりません f(^_^; 小さなお花は可愛いですネ (o^-^o)ポチ

アキチャン  
No title

ハコベかしら? (o^-^o)

uch*n*an  
No title

私も五つの方法で解きましたが,総じて,やどかりさんの解法の方がスマートだと思います。
(解法1)は,[解答2]と実質同じ。
(解法2)は,[解答4]とアプローチは似ていますが,中点 M に気付かず,面倒になりました。
(解法3)は,(解法2)と同じく座標ですが,二次方程式の解と係数を使う解法。少し面倒。
(解法4)は,[解答3]と同じ。
(解法5)は,(解法1)をベクトルで解釈し直したような解法ですが,[解答5]よりは面倒です。
[解答1]は,単純ですが,思い付きませんでした。
なお,私は,少し勘違いというか,解が二つになるような a の範囲をまず求め,
その範囲の下で二つの解の性質を求めて計算するというアプローチを取りましたが,
[解答1]を始め,どうもそこまではやる必要はなく,
解が二つあることを前提に解けばいい問題だったようですね。
そうした考え方の違いが,解き方に表れているような気もします。

ニリンソウ  
No title

柔らかそうな美味しそうな葉、ハコベは春の七草だから
食べれる? ひよこ草と呼んでました。
ポチ

黒翼  
No title

解答4,5は単純そうですが思いつきませんね.

解答3はsinθ,cosθをtan(θ/2)で表すという解法ですね.これも思いつきませんでした.

結局,僕には完ぺきな解答が書けませんでした.今回もいい勉強をさせていただきました.

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ハコベの群生を見つけて撮ったものです。
小さい花ですので、アップするのは私の腕(カメラ)ではうまくいきませんでした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、ハコベの群生です。何か所かにある少し紫がかったのはヒメオドリコソウです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
[解答1]については、単純なだけに、最初は私も思い付きませんでした。
作問した後で、いろいろと解答を考えて思いつきました。
やはり、左辺を見て合成してしまいますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
実は小学生時代、ひよこを飼っていて、ハコベを切り、糠を混ぜてエサにしていました。
そのおかげで包丁を使えるようになりました。ハコベを見ると今でもその頃を思い出します。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
4cosθ+3sinθ を (4,3)と(cosθ,sinθ)の内積と考えることによって、
合成も簡単になりますし、解き方の工夫もできます。
本問の場合は、簡単にいえば、(cosα,sinα)も(cosβ,sinβ)も、(4,3)との内積が等しい。
すなわち、なす角が等しいということです。

こっこちゃん  
No title

こんばんは

この可愛い花ハコベなんですね

群生でしたね ポチ

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
解法2類似法しか思いつけなかったですが...^^;...
解法1は...スマートですね♪
解が2つということは...合成したら...
cos ならx軸に、sinならy軸に対称の解ということで考えました...^^

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
群生していないと目立ちませんが、白い小さな花にも生命力を感じます。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
[解答2]の三角関数の合成は、sin で表す人が多いようですが、
私はベクトルの内積と直結する cos が好きです。
ま、sin で始まっていれば sin、cos で始まっていれば cos にするのが自然だと私は思います。