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[答248] 3次関数

ヤドカリ

ヤドカリ



[答248] 3次関数


 xの3次関数 f(x) が、f(0)=3,f(2)=5 を満たし、

 0<x<2 の範囲で極大値 5,極小値 3 をとるとき、f(5)=?


[解答1]

 3次関数 f(x)=ax3+bx2+cx+d で、

 f'(x)=3ax2+2bx+c だから、

 極大値をとるxの値をα,極小値をとるxの値をβとすると、0<α<β<2 で、

 解と係数の関係により、和は α+β=-2b/(3a) 、よって、3(α+β)/2=-b/a です。

 ここで、f(x)=3 すなわち ax3+bx2+cx+d-3=0 の解が 0,β,β だから、

 解と係数の関係により、和は 2β=-b/a=3(α+β)/2 、3α-β=0 になります。

 また、f(x)=5 すなわち ax3+bx2+cx+d-5=0 の解が α,α,2 だから、

 解と係数の関係により、和は 2α+2=-b/a=3(α+β)/2 、3β-α=4 になります。

 これを解くと、α=1/2, β=3/2 となって、

 f'(x)=3a(x-1/2)(x-3/2)=3ax2-6ax+9a/4 だから、

 f(x)=ax3-3ax2+9ax/4+d になります。

 f(0)=d=3,f(2)=a/2+d=5 だから、a=4 、

 f(x)=4x3-12x2+9x+3 、f(5)=248 になります。


[解答2]

 極大値をとるxの値をα,極小値をとるxの値をβとします。ただし、0<α<β<2 です。

 f(α)=5 だから、3次関数 f(x)=a(x-α)3+b(x-α)2+c(x-α)+5 とおけます。

 f'(x)=3a(x-α)2+2b(x-α)+c で、

 f'(α)=0 だから、c=0 、f'(x)=3a(x-α)2+2b(x-α)

 f'(β)=0 だから、3a(β-α)2+2b(β-α)=0 、b=-3a(β-α)/2 です。

 よって、f(x)=a(2x+α-3β)(x-α)2/2+5 になります。

 f(2)=a(4+α-3β)(2-α)2/2+5=5 より、4+α-3β=0 です。

 f(β)=a(α-β)3/2+5=3 、f(0)=a(α-3β)α2/2+5=3 だから、

  (α-β)3=(α-3β)α2 、β=3α になります。

 よって、α=1/2,β=3/2,a=4 となって、

 f(x)=4(2x-4)(x-1/2)2/2+5=(x-2)(2x-1)2+5 になり、

 f(5)=(5-2)(2・5-1)2+5=248 です。


[解答3]

 極大値をとるxの値をα,極小値をとるxの値をβとすると、0<α<β<2 で、

 f(x)=ax(x-β)2+3, f(x)=a(x-2)(x-α)2+5 と表されます。

 従って、ax(x-β)2-a(x-2)(x-α)2-2=0 、

 aで割って降冪の順に整理すると、

 2(α-β+1)x2+(β2-α2-4α)x+2(α2-1/a)=0 、

 よって、β=α+1, β2=α2+4α, α2=1/a 、

 これを解くと、α=1/2, β=3/2, a=4 となって、

 f(x)=4x(x-3/2)2+3=x(2x-3)2+3,

 f(5)=5(2・5-3)2+3=248 です。 


[解答4] uch*n*anさんのコメントより

 まず,f(0)=3,f(2)=5 より,a,b を実数,a≠0,として,

 f(x)=x(x-2)(ax+b)+x+3 とおけます。

 極大値を与える x は 2 でなく f(x)=5 で,y=5 が y=f(x) の接線なので,

 x(x-2)(ax+b)+x+3=5 ,(x-2)(ax2+bx+1)=0 ,

 ax2+bx+1=0 が重解をもつことになり,b2-4a=0 です。

 同様に,極小値を与える x は 0 でなく f(x)=3 で,y=3 が y=f(x) の接線なので,

 x(x-2)(ax+b)+x+3=3 ,x{ax2+(b-2a)x+(1-2b)}=0 ,

 ax2+(b-2a)x+(1-2b)=0 が重解をもつことになり,

 (b-2a)2-4a(1-2b)=0 です。

 (2b-4a)2-4・4a(1-2b)=0 に 4a=b2 を代入して,

 (2b-b2)2-4b2(1-2b)=0 ,

 4b2-4b3+b4-4b2(1-2b)=0 ,b3(b+4)=0

 a≠0 より b≠0 なので,b=-4,a=4 ,

 このとき,極大は (1/2,5) で,極小は (3/2,3) で与えられるので,題意を満たします。

 そこで,f(x)=4x(x-1)(x-2)+x+3 となり,f(5)=4・5・4・3+5+3=248 になります。


[参考]

 3次関数 f(x)=ax3+bx2+cx+d で、

 極値をとるxの値をα,βとすれば、f'(x)=3ax2+2bx+c=0 の解がα,βだから、

 解と係数の関係により、和は α+β=-2b/(3a) 、よって、(α+β)/2=-b/(3a) です。

 次に、3次関数のグラフ y=ax3+bx2+cx+d と 直線 y=mx+n が、

 P(p,f(p)) で接し、Q(q,f(q)) で交わるものとすれば、

 ax3+bx2+(c-m)x+(d-n)=0 の解が p,p,q だから、

 解と係数の関係により、和は 2p+q=-b/a 、よって、(2p+q)/3=-b/(3a) です。

 これは、PQ を 1:2 に内分する点のx座標が -b/(3a) であることを示しています。

 従って、γ≠α,f(γ)=f(α),δ≠β,f(δ)=f(β) とすれば、

 δ,α,-b/(3a),β,γ が、等間隔に並ぶことになります。

 この性質から、図のようなマス目と5点に注意して描くときれいなグラフになります。

 実は、マス目は、右図のように平行四辺形でも構いません。

 平行四辺形にすると、極値をもたないときも応用できます。

 本問の場合、0,α,-b/(3a),β,2 が等間隔に並ぶから、α=1/2,β=3/2 ですね。

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Comments 14

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黒翼  
No title

極値を持つ点のx座標は微分するとf'(x)=0となって,2次関数の解と係数の関係が使えるという事ですね.

その点には全く気付きませんでした.

僕は,変曲点が極大点と極小点の中点という事を利用して,α,βを求めました.
この問題でいえば,0とα,αと変曲点のx,変曲点のxからβ,βから2の距離が全て等しくなります.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
> 0とα,αと変曲点のx,変曲点のxからβ,βから2の距離が全て等しくなります.
は、[参考]に記した通りです。
これは、
> 変曲点が極大点と極小点の中点という事
だけでは示すことができません。
更なる計算が必要で、それが、[参考]です。
もちろん、他にも計算方法はあります。

古い人  
No title

今朝はレンゲですね。

此のレンゲもこの頃少なくなりましたね。

子供の頃はレンゲの咲き誇る田んぼでよく遊びましたよ。

ほんと見かけなくなりましたね。 ポチ。

アキチャン  
No title

おはようございます。
はやいですね、
まだ見かけていませんが、これからいっぱいになりますね (o^-^o)
ポチ♪

ニリンソウ  
No title

どんなに春が進んでもこのレンゲの花を新潟で見ることは
無いのです!
もう何年もなんでだろう。
ポチ

uch*n*an  
No title

私は,三つの方法で解きました。
この問題は,最初見たとき,「変曲点の対称性を使えば簡単そう」と思い,
実際,答えを予想するのはそうなんですが,
他に答えがないことの確認のためにも,その性質をちゃんと示そうとしたら,
結構はまってしまって,結局得たのが(解法1)で,[参考]を解法としたものです。
でも何かもっと自然に解けそうだなと思ってできたのが(解法2)で[解答4]です。
その後に気付いたのが(解法3)ですが,基本的な考え方は[解答2]に近いです。
[解答1]は言われてみればその通りで,これか[解答2]が自然な解法のように思います。
[解答3]は何か盲点を突かれたような解法で,こんな解法もあるんですね。
個人的には,[参考]の性質を自分なりに証明できたりして,
いろいろな意味で勉強になった問題でした。

黒翼  
No title

すみません.説明が少し足りなかったですね.

朝は少し急いでいたもので…

この問題を解くうえでは非常に便利な性質です.

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私も、子供の頃はレンゲの咲き誇る田んぼでよく遊びました。
その中にたまに白レンゲが咲いていました。
白レンゲは何年も、何十年かなぁ、見ていません。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
子供の頃はたくさん見かけましたが、この頃はほとんど見かけません。
馴染みのある花だけに淋しいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
米どころの新潟でも見なくなったって知りませんでした。
昔は土を肥やすために植えていたと聞いたことはありませが、
昔見た風景に出合えないのですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
この問題は[参考]の内容を紹介するためのものです。
[参考]を使わずに簡単に解けたら意味がないので、これ位が適当でしょう。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、再度のコメントを有難う御座いました。

sanrick17  
No title

いちょう、生きますてますがてんやわんやで三次元なんて解りませんが微分積分は大好きです

ヤドカリ  
No title

sanrick17さん、大変なところ、コメントを有難う御座いました。
先ほど訪問者履歴を見て、安堵したところです。
大変でしょうが、健康に気をつけて乗り切って下さい。
陰ながら応援しています。