FC2ブログ

Welcome to my blog

[答257] 距離の比

ヤドカリ

ヤドカリ



[答257] 距離の比


 AB=AC=5,BC=8 の二等辺三角形ABC があって、

 BP>CP,∠APB=∠APC の条件で、BP の長さが最長になるように、

 平面ABC上に四角形ABPCをつくるとき、BP:CP=?


[解答1]

 簡単のため、AP=a,BP=b,CP=c,∠APB=∠APC=θ とします。

 △ABPで余弦定理より、25=a2+b2-2ab・cosθ 、25c=a2c+b2c-2abc・cosθ 、

 △ACPで余弦定理より、25=a2+c2-2ac・cosθ 、25b=a2b+c2b-2abc・cosθ 、

 辺々減じて、25(c-b)=a2(c-b)+bc(b-c) 、

 b≠c より、両辺を b-c で割って、25=a2-bc、25-a2=-bc になります。

  ( b=c のとき、すなわち、PがBCの垂直二等分線上にあるときも、∠APB=∠APC です )

 再び、△ABP,△ACPで余弦定理より、

 cos∠ABP=(b2+25-a2)/(2・5b)=(b2-bc)/(10b)=(b-c)/10 、

 cos∠ACP=(c2+25-a2)/(2・5c)=(c2-bc)/(10c)=(c-b)/10

 だから、cos∠ACP=-cos∠ABP より ∠ABP+∠ACP=180゚ になります。

 よって、ABCPが四角形になれば円に内接します。

  ( PがBCの延長上にあるときも ∠ABP+∠ACP=180゚ になりますが四角形にはなりません )

 ここで、△ABCで余弦定理より、cos∠BAC=(52+52-82)/(2・5・5)=-7/25 、

 BCが最長になるのは直径のときで、PC/BP=cos∠BPC=-cos∠BAC=7/25 、BP:CP=25:7 です。

☆ 2cosθ=(b2+a2-25)/(ab)=(b2+bc)/(ab)=(b+c)/a 、

 2cos2θ=2(2cos2θ-1)=(b+c)2/a2-2 、

 △BPCで余弦定理より、

 64=b2+c2-2bc・cos2θ=b2+c2-bc{(b+c)2/a2-2}=(b+c)2(1-bc/a2)

 64a2=(b+c)2(a2-bc)=25(b+c)2 だから、

 8a=5b+5c となって、トレミーの定理の逆によっても、四角形ABPCが円に内接することが分かります。


[解答2]

 A(0,3),B(-4,0),C(4,0),APとBCの交点を T(t,0) (0<t<4)とすれば、

 P(tk,3-3k) (1<k) と表され、BT=4+t,CT=4-t となります。

 また、 BP2=(tk+4)2+9(1-k)2, CP2=(tk-4)2+9(1-k)2 となります。

 PA が ∠BPC の二等分線だから、BP:CP=BT:CT 、BT2CP2=CT2BP2

 (4+t)2{(tk-4)2+9(1-k)2}=(4-t)2{(tk+4)2+9(1-k)2} 、

 (4tk-16+t2k-4t)2-(4tk+16-t2k-4t)2+9{(4+t)2-(4-t)2}(1-k)2=0 、

 (8tk-8t)(2t2k-32)+9・8t(1-k)2=0 、16t(k-1)(t2k-16)+9・16t(k-1)2=0 、
 
 16t(k-1) で割って、t2k-16+9(k-1)=0 、k=25/(t2+9) となります。

 BP2=(tk+4)2+9(1-k)2=t2k2+8tk+16+9-18k+9k2

  =(t2+9)k2+8tk-18k+25=25k+8tk-18k+25=(8t+7)k+25

  =25(8t+7)/(t2+9)+25

 ここで、t2+9=m(8t+7) とおけば、m>0 で、

 t2-8mt=7m-9 、(t-4m)2=16m2+7m-9 、

 (m+1)(16m-9)=(t-4m)2≧0 、よって、m≧9/16 。

 mの最小値は 9/16 で、このとき、BP2=25/m+25 は最大になって、

 t=4m=9/4 ( BP2=25/m+25=625/9 になります )、

 BP:CP=BT:CT=(4+t):(4-t)=25/4:7/4=25:7 です。


[解答3]

 A(0,3),B(-4,0),C(4,0),P(x,y) とすれば、

 [解答1]より、AP2-25=BP・CP だから、(AP2-25)2=BP2・CP2

 {x2+(y-3)2-25}2={(x+4)2+y2}{(x-4)2+y2} 、

 (x2+y2+16-6y-32)2=(x2+y2+16+8x)(x2+y2+16-8x) 、

 -2(x2+y2+16)(6y+32)+(6y+32)2=-642

 (3y+16)(x2+y2+16)-(3y+16)2=162

 y(x2+y2+7y-48)=0 、y{(x2+(y+7/6)2-625/36}=0 、

 よって、点Pは、x軸上 or 中心が(0,-7/6)で半径が 25/6 の円周上にあります。

 x軸上の点は四角形ABPCができず、円周上の点のうち、第Ⅳ象限の点が条件を満たします。

 BPが最長になるのは、(0,-7/6)に関して B,P が対称なときで、P(4,-7/3)です。

 このとき、BP=25/3,CP=7/3 だから、BP:CP=25:7 です。


[解答4]

 A(0,3),B(-4,0),C(4,0),P(p,q) とすれば、

 BP:-qx+(p+4)y-4q=0 ,CP:-qx+(p-4)y+4q=0 になり、

 Aとこの2直線の距離(の2乗)が等しいから、

 {3(p+4)-4q}2/{q2+(p+4)2}={3(p-4)+4q}2/{q2+(p-4)2} 、

 {3p-4(q-3)}2{q2+(p-4)2}={3p+4(q-3)}2{q2+(p+4)2} 、

 {9p2+16(q-3)2-24p(q-3)}(q2+p2+16-8p)={9p2+16(q-3)2+24p(q-3)}(q2+p2+16+8p) 、

 {9p2+16(q-3)2}・8p+24p(q-3)(q2+p2+16)=0 、

 これを簡単にすると、pq(3p2+3q2+7q-48)=0 、pq{(p2+(q+7/6)2-625/36}=0 、

 よって、点Pは、y軸上 or x軸上 or 中心が(0,-7/6)で半径が 25/6 の円周上にあります。

 y軸上の点は BP>CP に反し、x軸上の点は四角形ABPCができません。

 円周上の点のうち、第Ⅳ象限の点が条件を満たし、

 BPが最長になるのは、(0,-7/6)に関して B,P が対称なときで、P(4,-7/3)です。

 このとき、BP=25/3,CP=7/3 だから、BP:CP=25:7 です。
 

[参考] P が △ABC の外接円上にあることの uch*n*anさんのコメント

 左下図のように、△ABC の外接円を O,AP 又はその延長と 円O との交点を Q とします。

 AB=AC なので 弧AB=弧AC で ∠AQB=∠AQC です。

 すると,AP>AQ の場合,∠QPB=∠QPC,∠PQB=∠PQC,PQ:共通,より,

 △BPQ≡△CPQ がいえ,BP=CP になり、BP>CP に反します。

 AP<AQ の場合も同様に BP=CP がいえて,これもありえません。

 そこで,AP=AQ,つまり,PとQが一致し,P は 円O 上にあります。

.

スポンサーサイト



Comments 16

There are no comments yet.
ヤドカリ  
No title

ふじもさんより次のコメントがありました。
AB=ACの二等辺三角形ABCがあるとき、∠APB=∠APCとなる点Pの軌跡は、
BCの垂直二等分線 + 外接円の弧BC + 底辺BCの延長線。
この点Pの軌跡は「幾何学つれづれ草」という本で見た記憶があります。

黒翼  
No title

なるほど.
結局四角形ABPCが円に内接する範囲でBCを最大にすればいいかなと思って解きました.

このようにしっかりとした解答が書けるようになりたいですね.

古い人  
No title

白のラッパスイセン綺麗ですね。

白のフリルがとても可愛いね。 ポチ。

ニリンソウ  
No title

水仙にもいろいろだったんですね。
黄色見れば黄色がいい、白を見せられれば白って素敵!
人の心は移り気で(笑)
ポチ

アキチャン  
No title

こんにちわ。
白い水仙は清楚ですね (o^-^o) きれい!ポチ♪

uch*n*an  
No title

う~む,どれもなかなか面倒ですね...
私は三つの方法で解きました。
(解法1)は,[参考]などを使った初等幾何によるもの。
(解法2)は,座標によるもの。一部ベクトルの内積を使い,少しだけ一般化して解きました。
(解法3)は,[解答1]とほぼ同じですが,ちょっとした工夫+トレミーの定理の逆を使いました。
最近,少し忙しくなってしまったので,
暗算でできず,計算力を問われる問題は,計算する時間がなくて辛いです...(^^;
その意味で,私は,できるだけ頭の中だけで解くようにしている,せざるを得ない,ので,
私の解法は,(解法2)の最初以外は相対的には計算量は少なめかな,と思います。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
この問題は、三角形の外接円上の点が条件を満たすことはすぐにわかりますが、
それ以外の点についての考察が必要で、それが面倒です。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
水仙はヒガンバナ科の植物ですが、春は水仙、秋は彼岸花、どちらも季節を感じる花です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
どの色も大きい花も小さく密集しているのもいいです。
水仙の淡い色は素敵です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
貴女はこの水仙のような真っ白なウェディングドレスを、
つい先日、姪っ子さんの姿に見られたのですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私は、計算量が多くなり易い座標は、最後に考えます。
計算量の少なくなる解法をいろいろ考えたのですが、
厳密に書けば、上記のようになりました。

tsuyoshik1942  
No title

BCの延長線は完全に見過ごしました。

ただ、それ以外の考察はそんなに重要なの?
三角形の外接円上の点が条件を満たし、直径が答であることだけでも、きれいな問題と思いました。
問題の解読をげーむ感覚で楽しんでいる気楽な自分の私見です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
他に該当するものがないかを確認することは大切だと思います。

A(0,3),B(-4,0),C(4,0),∠APB=∠APC,BP=25/3 のとき AP を求めよ。
という問題であれば、答は、
BCの垂直二等分線上に2つ、BCの延長上に2つ、△ABCの外接円上に1つの、合計5つありますね。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、かなり古い記事に鍵コメントを有難う御座います。
貴殿は浦島太郎ですね。
閑話休題。
PがC側の延長上にあるとき、
∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACP=∠ACB+∠ACP=180゚ 、
反対側でも同様です。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
おっと...すみませんでした...Orz~
そっか...汗汗...^^;;...

しばらく坐ってると腰が痛くなってきちゃうのが困るぅ...
そういえば...白髪が一気に増えたような...ウソ!! ^^

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
健康が一番ですよ、な~んてお医者さんに言っている自分が怖いwww