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[答258] 3色のカード9枚の並べ方

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答258] 3色のカード9枚の並べ方


 赤・青・黄の3色のガードが沢山あります。

 両端の色が同じで、隣り合う色が異なるように、9枚を1列に並べる方法は何通り?


[解答1] 地道を承知で数え上げ、uch*n*anさんの模範解答

 まず,両端が赤の場合を考えます。青や黄の場合も同じなので後で 3 倍すればいいです。

 ・両端以外に赤がない場合

   青と黄を交互に並べるので,2 通り。

 ・両端以外に赤が一つある場合

   赤は 3, 4, 5, 6, 7 番目に可能で,その間は青と黄を交互に並べるので,5・22=20 通り。

 ・両端以外に赤が二つある場合

   赤は 3 番目と 5, 6, 7 番目,4 番目と 6, 7 番目,5 番目と 7 番目,に可能で,

   その間は青と黄を交互に並べるので,6・23=48 通り。

 ・両端以外に赤が三つある場合

   赤は 3, 5, 7 番目だけが可能で,その間は青と黄を交互に並べるので,1・24=16 通り。

 ・両端以外に赤が四つ以上ある場合

   明らかに不可能です。

 そこで,両端が赤の場合は,2+20+48+16=86 通り。

 これより,すべての場合は,86・3=258 通り,になります。


[解答2]

 隣り合う色が異なるようなn枚(ただし n≧3)のカードの並べ方 3・2n-1 通りのうち、

 両端の色が同じ場合を an 通りとすると、

 両端の色が異なる場合は(最後に最初と同色のカードを追加すると) an+1 通りになります。

 よって、an+1+an=3・2n-1 です。

 an+1+an=2n+2n-1 、 an+1-2n=-(an-2n-1) となって、

 数列{ an-2n-1 }は公比が -1 の等比数列です。

 an-2n-1=(a2-21)(-1)n-2

 ここで、a2=0 だから、an=2n-1+2(-1)n-1 になります。

 従って、a9=28+2=258 になります。

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Comments 14

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黒翼  
No title

なるほど.

両端の色が違う場合に,最後に1枚追加すると考えれば計算が簡単になりますね.

この考え方はしたことがなかったので参考になりました.応用できそうな場面があれば応用したいと思います.

古い人  
No title

今日はとても黄色が眩しいくらいですね。

目がバッチリ覚めました> ポチ。

黒翼  
No title

綺麗な黄色ですね.花の名前は皆目見当がつかないのですが,しっかりと咲いてますね.ポチ.

関係ないですが,今259番を考えているのですがさっぱりですね.これは解けそうにないです.なんて頭が固いんだ…悔しいですね.どこかうまいところに目を付けられれば良さそうなんですが…

uch*n*an  
No title

私は四つの方法で解きました。
(解法1)は,漸化式を使わない解法です。ご参考までに後で示します。
(解法2)は,漸化式ですが,三項漸化式を使いました。
(解法3)は,実質,[解答]と同じですが,[解答]の方が漸化式の導出がうまいと思います。
(解法4)は,やはり漸化式ですが,ちょっと凝った工夫をしてみました。

uch*n*an  
No title

(解法1) 地道に
まず,両端が赤の場合を考えます。青や黄の場合も同じなので後で 3 倍すればいいです。
・両端以外に赤がない場合
青と黄を交互に並べるので,2 通り。
・両端以外に赤が一つある場合
赤は 3, 4, 5, 6, 7 番目に可能で,その間は青と黄を交互に並べるので,5 * 2^2 = 20 通り。
・両端以外に赤が二つある場合
赤は 3 番目と 5, 6, 7 番目,4 番目と 6, 7 番目,5 番目と 7 番目,に可能で,
その間は青と黄を交互に並べるので,6 * 2^3 = 48 通り。
・両端以外に赤が三つある場合
赤は 3, 5, 7 番目だけが可能で,その間は青と黄を交互に並べるので,1 * 2^4 = 16 通り。
・両端以外に赤が四つ以上ある場合
明らかに不可能です。
そこで,両端が赤の場合は,2 + 20 + 48 + 16 = 86 通り。
これより,すべての場合は,86 * 3 = 258 通り,になります。

uch*n*an  
No title

>関係ないですが,今259番を考えているのですがさっぱりですね.これは解けそうにないです.
実はあることに気付いてそれを仮定すれば,結構容易に答えは出ます。
ただ,それに気付くかどうかは必ずしも簡単ではなく,
気付いたとしても他に解がないことも含めてそれをちゃんと示すのは,
少なくとも私は,あまりうまくいっておらず,結構面倒な解法になっています。
何かあっさりできそうな気もするんですが...もやもやしています (^^;

黒翼  
No title

>uch*n*anさん

僕が送った解答と同じですね.地道ながら考えやすかったです.
この解法を思いついた時も個人的には結構スッキリしたのですが,今日の解答発表ではさらにスッキリしました.

ある事に気がつけばいいという言葉を聞いて,少しやる気が出てきました.またチャレンジしたいと思います.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、何度ものコメントとポチを有難う御座います。
解答はいろいろあると思いますが、何枚になっても通用する漸化式の解答にしました。
漸化式の作り方・解き方ともにこの方法が一番簡単だと思います。
259番については頑張って解いてくださいというしかありません。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
今月の上旬に、黄色の水仙が咲き誇っていましたので載せました。
もう、枯れているかなぁ?

アキチャン  
No title

こんばんわ。
満開の水仙・・きれいですネ~ (o^-^o)
ポチ♪

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、詳しい解答を有難う御座います。
地道な数え上げは、迷っていて載せなかったのですが、
コメントに書かれましたので本文に入れさせて頂きました。
259番については、私は3次方程式を使いましたが、そんなに複雑ではありませんでした。
もちろん、気づかれた内容が、作問の原点ですが……。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
黄色の水仙もこれだけあると見ごたえがありました。

ニリンソウ  
No title

水仙が笑ってる!
賑やかなおしゃべりが聞こえてきそうです。
ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
私には水仙のおしゃべりは聞こえませんでした。
言われてみれば、なるほど、そのようにも見えますね。