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[答259] 六角形の外接円の半径

ヤドカリ

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[答259] 六角形の外接円の半径


 AB=BC=13,CD=23,DE=EF=19,FA=8 の六角形ABCDEFが円に内接しています。

 この円の半径は?


[解答]

 図のように、円周上に、CP=AR=19,PQ=23,QR=8 になるように点P,Q,R をとり、

 BP=BR=x,PR=y,∠PBR=2θ とおきます。

 ∠BPR=90゚-θ より、∠BAR=90゚+θ、また、∠PQR=180゚-2θ になります。

 二等辺三角形BPRにおいて、y=2x・sinθ であり、

 △APRで余弦定理より、x2=132+192-2・13・19cos(90゚+θ)、

 △PQRで余弦定理より、y2=232+82-2・23・8cos(180゚-2θ)

 であるから、簡単のために、z=2sinθ とおくと、

 y=xz ,x2=530+247z ,y2=593+2・184cos2θ=593+2・184(1-2sin2θ)=961-184z2

 と なって、

 y2=x2z2=(530+247z)z2 だから、

 (530+247z)z2=961-184z2 、247z3+7142-961=0 、(z-1)(247z2+961z+961)=0 、

 z>0 だから、z=1 になり、x=y=√777 、△BPRは1辺が√777 の正三角形です。

 1辺がxの正三角形の外接円の半径は、x/√3=√777/√3=√259 です。 

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Comments 14

There are no comments yet.
黒翼  
No title

結局解けませんでした.

点を移動させると解けるという問題だったんですね.それも頭にあったのですが実行に移せず…

確か,五角形内の三角形の面積の割合を求める問題でも点を移す考え方がありましたよね.この効果的な解法は覚えとかないといけません.ポチ.

アキチャン  
No title

おはようございます。
白いスミレ?かしら・・・可愛いですネ (o^-^o)
ポチ♪

古い人  
No title

白スミレこの頃余り見た来ないですね。

清潔感があり好い物ですね。ポチ。

ニリンソウ  
No title

スミレもいろいろどの花見てもスミレで済ましています
野に咲く花は清々しいですね。

ポチ

uch*n*an  
No title

う~む,やはりそこそこ面倒ですね。少なくとも暗算ではできそうにない。
私は二つの方法で解きましたが,似たようなものでした。
(解法1)は,辺が 8, 13, 19, 23, 19, 13 となるように並べ替えて,
トレミーの定理,余弦定理,三次方程式,正弦定理と使う解法で,
[解答]よりも少し面倒です。
(解法2)は,[解答]と同じ図にし,∠RAB = ∠ABC = ∠BCP = x とおき,
∠PBR = 2x-180,∠PQR = 360-2x より,△ABR,△CPB,△BPR,△PQR に余弦定理を使い,
[解答]と実質同じものです。手間も大して変わらないようです。

uch*n*an  
No title

この問題は,[解答]の図を思い付けば,8, 23 の所も 13, 19 にできないかな,と思い,
そうなれば,8, 23 のなす角と 13, 19 のなす角は等しくなり,
図の対称性より,120°と分かり,△BPR は正三角形で,
PB = BQ = √(13^2 + 19^2 - 2 * 13 * 19 * cos(120°)) = √777
= √(8^2 + 23^2 - 2 * 8 * 23 * cos(120°)) = PQ
となって,少し頑張れば暗算でもできる問題になります。
しかし,もちろん,これでは解答としては不完全です。
8, 23 の所も 13, 19 とできる自然な説明と,これ以外に解がないことを,
示さなければならないからです。
そのためには,結局は,[解答]や私の(解法2)のようにせざるをえないようです。
その意味ではちょっと残念。

uch*n*an  
No title

なお,私事で恐縮ですが,最近少し忙しくなってしまったので,
暗算で解けなかった場合には,今後は対応が遅くなるかもしれません (^^;

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
円に内接する多角形は辺の順序を変えてもある程度の性質が残ります。
この問題、計算は面倒で、工夫が必要ですが、解けない問題ではありませんね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このスミレ、偶然見つけて撮りました。可愛く咲いておりました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、白いのはあまり見ないですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
貴女は山野の花がお好きですね。
私も好きですが、沢山は撮れません。そこが難です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、長いコメントを有難う御座います。
8, 23 の角も 13, 19 の角も 120゚ にすると、第3の辺はともに √777 になるので、
正三角形の3辺にくっつければ、六角形が円に内接します。
答の一つがそれで出ることは確かですが、
それ以外ないことを示すのは、仰るように難しいです。
私は、その考え方で作問し、解答をつくると、それ以外ないことが分かりました。

別件ですが、お忙しい時には無理をなさらないでください。
ゆっくり考えて頂くために、解答発表は6日後にしています。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
うわぁ~可愛い、白いすみれなんですか?見たことが
ありません。。こんな素敵な野の花が咲いてるとこを
散策できるなんていいなぁ~~。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
このスミレ、普段と違う所を歩いて偶然見つけて撮りました。