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[答260] 和が41の倍数になる選び方

ヤドカリ

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[答260] 和が41の倍数になる選び方


 0,1,2,……,40 から異なる数3個を選ぶ、413 通りのうち、

 3数の和が 41の倍数になるのは何通り?


[解答]

 mod 41 として、{a,b,c},{a+1,b+1,c+1},{a+2,b+2,c+2},……,{a+40,b+40,c+40} の

 41個の集合を1グループにし、その要素の和を考えます。

 例えば、

 {10,20,40},{11,21,0},{12,22,1},{13,23,2},{14,24,3},……,{7,17,37},{8,18,38},{9,19,39}

 の和は、29,32,35,38,0,……,20,23,26 と合同で、

 41,3 は互いに素だから、この和の中に 0 は1つだけです。

 つまり、和が41の倍数になるのは、全体の 1/41 になります。

 従って、413/41=41・40・39/(3・2・1・41)=260 通りです。


[参考]

 0,1,2,……,n-1 から異なる数3個を選ぶ、n3 通りのうち、3数の和がnの倍数になる場合は?

 nが3の倍数でなければ、[解答]と同様に n3/n=(n-1)(n-2)/6 通りです。

 nが3の倍数の場合は複雑なことになります。

 例として、n=12 の場合、

 {0,4,8} を含むグループは、

  {0,4,8},{1,5,9},{2,6,10},{3,7,11},{4,8,0},{5,9,1},…… となって、

  実質 {0,4,8},{1,5,9},{2,6,10},{3,7,11} の4組で、和が 12の倍数になるのは、{0,4,8}だけです。

 その他のグループについては、例えば、

  {0,1,7},{1,2,8},{2,3,9},{3,4,10},{4,5,11},{5,6,0},

  {6,7,1},{7,8,2},{8,9,3},{9,10,4},{10,11,5},{11,0,6}

  のように、12組が1グループになります。 ( (123-4)/12=18 グループあります )

  1グループに、0を含むものが3組あり、

  この例では、3数の和は mod 12 で、8,11,2,5,8,11,2,5,8,11,2,5 と、

  3組ずつの4種類に分類できます。(3で割った余りは等しい)

  従って、

  和が3の倍数である組を含むグループの中には 和が 12の倍数である組が3組あり、

  和が3の倍数でない組を含むグループの中には 和が 12の倍数である組はありません。

  そこで、グループの代表として 0を含む組(1グループにつき3組)だけについて考えます。

  その総数は、{0,4,8}を除いて、 112-1=54 組あります。

  1 ~ 11 には mod 3 で、0と合同なものが3個、1と合同なものが4個、2と合同なものが4個

  あるので、和が3の倍数である組は、32+4・4-1=18 組で、

  それが3組ずつ同じグループに入っており、18/3=6 グループあります。

  そのグループの中には 和が 12の倍数である組が3組ありますので、

 和が 12の倍数である組は全体で、6・3=18 に {0,4,8} を合わせて、19 組になります。

 nが3の倍数の場合、一般に、

 {0,n/3,2n/3} を含むグループは n/3 組あり、和がnの倍数になるのはこの1組だけです。

 その他は ( n3-n/3)/n=n(n-3)/6 グループあって、

 どのグループにも 0を含むものが3組ずつあります。

 0を含む組の中で、和が3の倍数になるのは、n/3-12+(n/3)・(n/3)-1=n(n-3)/6 組で、

 それを含むグループは、3組ずつ含み、n(n-3)/18 グループ、

 その中には和がnの倍数になるのが3組ずつあるから、全部で n(n-3)/6 に {0,n/3,2n/3} を合わせて、

 n(n-3)/6+1 組あります。

 なお、nが3の倍数でない場合は、(n-1)(n-2)/6={n(n-3)-4}/6+1=[n(n-3)/6]+1 だから、

 いずれの場合も、[n(n-3)/6]+1 組となります。

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Comments 20

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tsuyoshik1942  
No title

数え上げで 260を確認。そしてこの数が 41C3/41であることに気づく。続いてn=10について数え上げて、やはりその数が 10C3/10であることを確認。しかし、何故、nC3/nで表せれるか理由付けが出来ませんでした。
解答を拝見し、ようやく理解できました。

uch*n*an  
No title

>a の二つの範囲で同じものが一つずつ出て来ることに注意して,
ここは,
得られる同じ (x,y,z) に対して上記の a の二つの範囲の一つだけが可能,に注意して,
に訂正します。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
数学は、いろんな考え方で解ける場合があり、面白いですね。
学校での数学で「こうすれば解ける」だけでは面白くありません。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
レンゲソウは一度使ったのですが、この写真を撮って、もう一度使いたくなりました。
ある程度たくさん咲いていて、近づける所でないと、このアングルでは撮れません。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
幼少の頃は沢山見られたレンゲソウですが、このごろは少なくなりました。
一面のレンゲソウに蝶が飛んでいる光景を思い出します。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私は幼少の頃、白レンゲと呼んでいた、白いのをよく探しました。
白いのをもう何十年も見ていません。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
「今はおばさん」なら、将来おば○さんになっても、元気で蓮華草を見られたらいいですね。
なお、田んぼでなく、長居植物園の一角で、ブロッコリーの近くでした。

uch*n*an  
No title

ちなみに,
[(n-1)(n-2) + 4)/6]
= [(n(n-3) - (n-3) + (n-1) + 4)/6]
= [n(n-3) + 6)/6]
= [n(n-3)/6 + 1]
= [n(n-3)/6] + 1
ですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、詳細な解答を有難う御座います。
私は、出題時は、nが3の倍数以外のとき一番スッキリした解法だけ用意していました。
貴殿以外にも一般化し、3の倍数の場合に触れられている解答がありましたので、
同じ解法を意識しながら書き加えたのが[参考]です。
長くなるのは分かっていましたが、想定外に長い説明になりましたので、
貴殿の(解法2)は書けませんでした。

貴殿の(解法2)は簡単にいえば、2つを選ぶとあと1つは自動的に決まりますが、
それが最初の2つとかぶる場合を除くというものです。
この解法も中々注意力が必要ですね。

uch*n*an  
No title

>この解法も中々注意力が必要ですね。
はい。でも,実際にやってみると,結構簡単だと思います。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
nの倍数になる確率はだいたい 1/n 位になることは容易に想像できますが、
その裏付けをとるのは難しいですね。
3の倍数でないときは 全体/n になりますが、3の倍数のときは微妙に違います。
ともあれ、理由を納得して頂き、嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、何度もコメントを有難う御座います。

> [((n-1)(n-2) + 4)/6] = [n(n-3)/6] + 1
は当然ですが、理解しにくい方のためのコメントですね。
説明を加えれば、ガウス記号の中の整数は外に出せるということです。

> 実際にやってみると,結構簡単だと思います。
はい。それをきちんと場合分けする気力がなかったので、貴殿の解答に頼りました。
[参考]はなりゆき上、意地で気力を出しましたが……。

tsuyoshik1942  
No title

常連さんの休養、さびしいですね!
全快と早くの復帰、お待ちしております。

黒翼  
No title

>uch*n*anさん

詳細な解法参考になります.
x,yでzが一意に決まることには気づいてませんでした.それに気づいていればと解答が発表されてからはっとしてしまいます.

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
貴殿も気づかれたのですね。
淋しいかぎりですが、きちんと回復してもらいましょう。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、再度のコメントを有難う御座います。
何個かを選ぶ場合、最初から全部を選ぶのと、
まずその一部を選ぶ方法があります。
どちらが解きやすいかを比較検討することになります。
面倒なので、考えませんでしたが、
最大数として n-1 を選んだら他の2数の和が n+1 or 1
n-2 を選んだら他の2数の和が n+2 or 2
……
というように、考えることもできます。

黒翼  
No title

確かに,最大数から決める方法も考えやすそうですね.

場合の数を数えるときには,工夫が重要.ということもあるでしょう.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
どうすれば楽に求められるかを工夫する、
楽するための労力を惜しまない、
が私のモットーです。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
そうそう、ブロッコリーの花だったのですね。
知りませんでした。ありがとう♪

おば○さん?何が入るんだろ。。^m^
Qを入れて「オバQ」さん?あはは。。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、再度のコメントを有難う御座います。
「Q」ですか、意味が通じたら全部正解です。