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[答261] 直角二等辺三角形の横方向に拡大

ヤドカリ

ヤドカリ



[答261] 直角二等辺三角形の横方向に拡大


 図のように、縦の(赤い)直線と BA=BC の直角二等辺三角形ABCがあって、

 この縦の直線を基準として横方向にだけk倍に拡大すると、

 PQ=PR の直角二等辺三角形PQRになりました。このときkの値(k>1)は?


[解答]

 下図のように、△ABC,△PQRを平行移動して、複素平面上の原点に A,P を置き、

 a,b を0でない実数として、Bが表す複素数を a+bi とすれば、

 Cが表す複素数は、(a+bi)(1+i)=(a-b)+(a+b)i になります。

 また、Qが表す複素数は ka+bi, Rが表す複素数は k(a-b)+(a+b)i になります。

 (ka+bi)i=-b+kai だから、k(a-b)=-b, a+b=ka 、

 ka=(k-1)b, b=(k-1)a 、辺々乗じて、kab=(k-1)2ab 、

 k=(k-1)2 、 k2-3k+1=0 、

 k>1 と併せて、k=(3+√5)/2 になります。


[参考]

 k=(3+√5)/2 だから、b/a=k-1=(1+√5)/2 となり、これは黄金比です。

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Comments 16

There are no comments yet.
黒翼  
No title

おはようございます.複素数を使いましたか.
僕はベクトルを使ったので計算が面倒になりまして,結局解けませんでした.

(ka+bi)iがRの表す複素数となる理由は分からないのですが,どうしてでしょうか.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
> (ka+bi)i がRの表す複素数となる理由
Qを 90゚ 回転するのに i をかけただけです。

ニリンソウ  
No title

あ。。。ずいぶんお洒落な芝桜ですね!
ポチ

tsuyoshik1942  
No title

あ。。ずいぶんお洒落な解法ですね!

複素数、ベクトルに不如意の自分は、平面座標で解きました。相手を理解していないので多くはいえないのですが、似たようなことをしているような気がします。ただ、複素数を理解していれば、自分が面倒と思った計算が定法で直ちに得られるような気がしました。

アキチャン  
No title

おはようございます。
可愛いですネ~ 一面のシバザクラは今 綺麗ですネ~ポチ♪

momomsato  
No title

これは変わった芝桜ですね~。

ポチ☆

uch*n*an  
No title

私の解法も[解答]と同じでした。
この問題は,回転,横だけの拡大がポイントになるので,複素数で表現するのがやりやすいです。
ただ,最近は,複素数を図形に応用するのは教科書レベルではあまりやらないようなので,
座標+回転行列の方がなじみやすいかもしれません。これでも同じことができます。
まぁ,回転は 90°だけでもできるので,行列まで持ち出さなくても済みますね。
それに,Webでは行列を表現するのは難しいですしね...(^^;
ベクトルでやるのは,そのままでは難しいと思います。
成分表示すればやり方次第ではできますが,これは,座標でやるのと同じになりますね。

黒翼  
No title

そうでした.90度の回転でしたね.

了解しました.解答ありがとうございます.

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
シバザクラはあまり近づいて見ないのですが、よく見たら花弁に特徴がありました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
複素平面でも座標平面でもたいした違いはないと思うのですが、
回転を考えると、複素数は cosθ+i・sinθ をかけるだけですので、扱いが楽です。
B→C は 45゚ の回転と√2倍の合成ですので、
√2(cos45゚+i・sin45゚)=1+i をかけるだけです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、シバザクラの美しい季節ですが、もうすぐ終わろうとしています。
写真をお蔵入りさせないための抵抗です。笑

ヤドカリ  
No title

momomsatoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
シバザクラもよく見ると変わったのもありますね。
私自身も勉強になりました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座いました。
私はこの問題の解答を上記の方法しか考えなかったのですが、
貴殿の解答を見て、やはり複素数と思ったことでした。
このような問題は複素数が便利ですね。
行列は画像を使えば何とかなりますが、web上の書き方も難しいし、
行列の積を求めるのもあまり好きではありません。
なお、積分も表しにくいです。回転体の体積なんて出題すると苦労します。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、納得して頂いたようですね。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
芝桜、この色も可愛いです。春らしいですね。
やどかりさんはいつもお花に囲まれた生活ですてきですね。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
殺風景な数学の問題に花を添えているうちに、花が目につくようになりました。