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[答262] 回転体の体積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答262] 回転体の体積


 放物線 y=-x2+23x/4 と 直線 y=3x/4 で囲まれる図形を

 直線 y=3x/4 の周りに回転してできる回転体の体積は?


[解答1] uch*n*anさんの解答より(積分の計算式は記事にしにくいので書きやすく変えました)

 放物線と直線の交点を A,放物線上の点を P(x,y),P から直線に下ろした垂線の足を H,

 特に,PH が P で放物線に接しているときの P を S,H を T とします。

 すると,グラフの状況を調べると,

 A(5,15/4),S のx座標をcとして c<5,0<OA<OT がいえます。

 また,OR=t,d(x)=(-x2+23x/4)-3x/4=5x-x2 として,

 t=(5/4)x+(3/5)d(x),PH=(4/5)d(x) です。そこで,

 V/π=∫0OS PH2dt-∫OAOS PH2dt

  =∫0c PH2(dt/dx)dx-∫5c PH2(dt/dx)dx

  =∫05 PH2(dt/dx)dx

  =∫05 (16/25)(5x-x2)2{(5/4)+(3/5)(5-2x)}dx

  =(4/5)∫05 (25x2-10x3+x4)dx+(48/125)∫05 (5x-x2)2(5-2x)dx

  =(4/5)[(25/3)x3-(5/2)x4+(1/5)x4]05+(16/125)[(5x-x2)3]05

  =(4/5)・55(1/3-1/2+1/5)=250/3

 V=250π/3=261.799… になります。


[解答2]

 -x2+23x/4=3x/4 とおくと、x=0,5 。

 また、図のx座標がxである線分PQを直線 y=3x/4 の周りに回転すると笠形(円錐の側面)ができ、

 円錐の側面積=π・母線の長さ・底面の半径 だから、笠形の面積は、

 π・PQ・PH=(4π/5)PQ2=(4π/5)(5x-x2)2=(4π/5)(25x2-10x3+x4) 、

 従って、体積は、

 (4π/5)∫05 (25x2-10x3+x4)dx=……=250π/3 になります。


[参考]

 0,5 の平均 x=5/2 のとき、放物線上の点はP(5/2,65/8),直線上の点はQ(5/2,15/8)で、

 PQを 3:2 に内分する点は(5/2,35/8)で、結果だけを書けば、これが図形の重心になります。

 この重心と y=3x/4 の距離は 2 ですので、回転させたときの重心の移動距離は 4π、

 また、この図形の面積は 125/6 で、パップス・ギュルダンの定理より、

 回転体の体積は、(125/6)・4π=250π/3 になります。

.

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Comments 20

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uch*n*an  
No title

V/π = ∫[x=0,5]{PH^2(dt/dx)}dx
= ∫[x=0,5]{(4/5 * PQ)^2 * (5/4 + 3/5 * d(PQ))/dx}dx
= 4/5 * ∫[x=0,5]{(PQ)^2}dx + (4/5)^2 * 3/5 * ∫[x=0,5]{(PQ)^2 * d(PQ))/dx}dx
= 4/5 * ∫[x=0,5]{(PQ)^2}dx + (4/5)^2 * 3/5 * ∫[x=0,5]{d((PQ)^3/3)/dx)}dx
= 4/5 * ∫[x=0,5]{(PQ)^2}dx + (4/5)^2 * [(PQ)^3/3][x=0,5]
= 4/5 * ∫[x=0,5]{(PQ)^2}dx + (4/5)^2 * [(PQ(x=5))^3/3 - (PQ(x=0))^3/3]
ここで,PQ(x=0) = PQ(x=5) = 0 なので,
V/π = 4/5 * ∫[x=0,5]{(PQ)^2}dx
V = 4π/5 * ∫[x=0,5]{(PQ)^2}dx
となって,[解答2]と一致していることに注意しておきます。

uch*n*an  
No title

実は,[解答2]のようなことも考えたのですが,笠形の面積を出した後に,
そのままナイーブに x で積分していいのか,ちょっと気になりました。
それは,笠形の移動する方向と,x 軸とが傾いているからです。どうなんでしょうか。
多分,より正確には,OQ = t とし,微小な長さ dt に対して笠形の微小な移動の体積は,
PQ が dt の移動で掃く領域は平行四辺形なので,近似式で,
微小体積 = 笠形の面積 * 4/5 * dt = π * PQ * PH * 4/5 * dt = π * (4/5)^2 * (PQ)^2 * dt
そこで,
V = ∫[t=0,OA]{π * (4/5)^2 * (PQ)^2 * dt} = π * (4/5)^2 * ∫[t=0,OA]{(PQ)^2}dt
t = 5/4 * x より,dt = 5/4 * dx で,
V = 4π/5 * ∫[x=0,5]{(PQ)^2}dx
かな,と思いました。ただ,この議論は少しあいまいなので,あれこれ考えているうちに,
結局,(解法1),つまり,[解答1],になった次第です。

uch*n*an  
No title

なお,[参考]も考えたのですが,重心が簡単には求まらない気がしてやめました。
重心をちゃんと定義するのは,実はそれなりに大変で,一般には大学レベルの知識が必要です。
一応,今それで計算したら,確かに,G(5/2,35/8),
P(5/2,65/8),Q(5/2,15/8) として,PQ を 3:2 に内分する点,になりました。
もっとも,この問題に関しては,もう少しうまく計算できるのかもしれませんね。
私も,やどかりさんの計算方法を知りたいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
まるでピンクの絨毯のようでした。
シバザクラがたくさん集まると綺麗です。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
遠くて見に行けないのは残念ですね。
見られる時に美しいのもを沢山見ておかないと損した気分になります。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
重心の求め方については、一般の放物線にするとかなりの計算になりますので、
とても書ききれません。[参考]にしたのはそのような意味です。
この問題に関しては、x軸・y軸の周りに回転して体積を求め、
定理を逆に使えば重心は求められます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
シバザクラは美しいですね。
これは大仙公園で撮ったものですが、造幣局に桜を見に行った時も密集して咲いておりました。
人が多いので撮りませんでしたが。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとポチを有難う御座います。
私は主にこのような問題と解答を記事にしています。
花の写真は、問題だけでは殺風景なので、1つずつ入れています。
どちらがメインか分からない時もありますが……。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、詳しいコメントを有難う御座います。

[解答2]については、
厳密にはこの図形のうち 0≦x≦t の部分の回転体の体積を S(t)とでもして、
S'(t) が x=t の部分で出来る笠形の面積であることを示さなければなりませんが、
簡単にいえば、笠形の面積をxについて積分すれば、
厚みをx軸方向に考えていることになりますので正解を得られます。
ほとんどの方がこの解き方でした。

[参考]については、仰るように、重心をちゃんと定義するのが大変なので「参考」としました。
黒翼さんへのリコメに書きましたが、x軸・y軸の周りに回転して体積を求め、
定理を逆に使えば、重心だけは求められます。

tsuyoshik1942  
No title

今は、この問題の積分は計算で求められるようになりましたが、当初は、解答2の最後の部分をプログラムに頼りました。
すなわち、傘型の面積に微小分割巾を乗じ、その全てを加えました。ちなみに、分割数と答(250/3=83.333..)との差異は以下でした。
10分割:83.32
100:83.33333
1000:83.333333333,10000:83.333333333333

このような算数学の問題にプログラムの使用は邪道との意識を持ち、極力手計算での解読を心がけております。が、時には提起された問いをプログラム化すること自体が難しく興味がわくことがあります。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
これはすごいです。。圧巻ですね。。
こんな花を見たら自然にニコニコしてしまいそうです。
ポチ

黒翼  
No title

確かに,重心を求めるのは少々難しいですよね.

パップス・ギュルダンの定理を,重心とその移動距離から体積を求める公式と考えるのではなく,体積から重心を求める公式と考えるのもありですかね.

黒翼  
No title

>uch*n*anさん

笠形の積分をそのまま行うことには,この解答を見た際に僕も少し違和感を覚えました.

しかし,uch*n*anさんが示していることや,ヤドカリさんのリコメを拝見し,すっきりしました.

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
積分できるような関数を扱っていますので、手計算がいいと思いますが、
積分できない関数も多く、近似値を求めるのも1つの手立てと思います。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
いっちゃんのバナーを沢山集めて重ねたような写真でしょ!?
ピンクはサクラ・シバザクラ・サクラソウに似合いますね。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、再度のコメントを有難う御座います。
たしか、重心は積分で定義していたように思います。
ずいぶん前に勉強した事柄で、
そのとき放物線と直線に囲まれる部分の重心を求めて結果を覚えておりました。
三角形と違って 3:2 なんだなぁと。

こっこちゃん  
No title

今日の花 シバサクラ この色も

いいですね、 ポチ

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
コメントが上手くいきましたね
コメントを書いて[投稿]をクリックする前に、
コピー[ctrl+C]しておくのも1つの方法かと思います。
失敗しても張り付け[ctrl+V]で簡単に復活します。

黒翼  
No title

斜回転体の体積の求め方をあれから考えてみました.
今更ながら,僕の考えをまとめ,記事にしましたので,恐縮ながら,トラックバックさせていただきました.

この記事の内容に沿って答えを求めれば,
π/√{(3/4)^2+1)}=4π/5だから,
(4π/5)∫[0,5]{(-x^2+5x)^2}dx=250π/3

という感じでもいいのでしょうか.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントをTBを有難う御座います。
結果的にはそうなりますね。