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[答263] 正三角形の1辺の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ



[答263] 正三角形の1辺の長さ


 図のように、正三角形ABC内の点Pから辺BC,CA,AB に 垂線PD,PE,PF をおろします。

 PD=11,PE=12,PF=16 のとき、 正三角形ABCの1辺の長さは?



[解答]

 △ABCの1辺の長さをLとすると、

 △ABC=△PBC+△PCA+△PAB だから、

 L・(√3/2)L/2=L・PD/2+L・PE/2+L・PF/2 、

 (√3/2)L=PD+PE+PF 、(PD+PE+PF はもとの正三角形の高さですね)

 L=2(PD+PE+PF)/√3=2(11+12+16)/√3=26√3 です。

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Comments 18

There are no comments yet.
黒翼  
No title

PD+PE+PFが元の正三角形になるのが美しい関係ということですね.すっきりしました~傑作ポチです.

これは,いろいろ考えている間に気づきましたが,その点を指していたとは気づきませんでした.

uch*n*anさんの仰っていた通り当たり前でしたね.
当然簡易な証明は必要でしょうが.

正三角形の内部にPをとって,各辺に垂線を下ろすと,その長さの和は常に一定ということが言えそうですね.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
PD+PE+PFが必ず元の正三角形の高さになりますので、常に一定です。
だから、Pが重心にある場合で考えると、PD=PE=PF=13 になるから、すぐ答がでます。

黒翼  
No title

重心の場合は,PD=PE=PFとなるのでしょうか?

Pが内心の場合にそうなるのはよくわかるのですが

黒翼  
No title

先ほどのコメントに追加を

正三角形の重心と内心は一致するのですよね.
内心でそうなるなら当然重心でもそうなりますよね.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、再度のコメントとポチを有難う御座います。
正三角形は重心・内心・外心・垂心は一致します。
逆に、そのうちの2つが一致すれば正三角形です。
私は高さを 2:1 に内分するという意味で、重心と書きました。

アキチャン  
No title

おはようございます。
かわいい 黄色いお花ですネ (o^-^o) ポチ♪
今日は いいお天気と思われますが、まだ黄砂・・ f(^_^;

黒翼  
No title

高さを2:1に内分するという考え方だと重心という表現がぴったりですね.

まさに正三角形だからこその性質ですね.

uch*n*an  
No title

私の解法も[解答]と同じでした。
[解答]にもあるように,PD + PE + PF = 正三角形の高さ = 一定,になります。
私がこれを知ったのは中学生の頃で,参考書にあった証明問題でした。
図形的に証明し感動したのですが,面積で簡単にできるのに気付いて,再度感心したものです。
面積を考えれば明らかですが,一般に,正多角形でも似たようなことがいえますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
よく見かける花ですが、名前を知りません。
分かったら教えて下さいね。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、何度もコメントを有難う御座います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私は単なる思い付きで出題したのですが、
1の位が3である番号の問題に対応できる便利な問題です。

Yasuko  
No title

数学に弱いので^_^;
数学が得意なんですねぇ~羨ましいです!
( ..)φメモメモして帰ります!!
☆ポチ

Yasuko  
No title

W入りました☆

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとしかもWポチ、有難う御座います。
難しいのもありますが、少しでも楽しんでいただければ幸いです。

黒翼  
No title

ちなみに,僕の解答はここに示されているものとは少し違いました.

参考にすらならないかもしれませんが,一応示させて下さい.

△ABCの一辺の長さをaとすると,
△ABC=△PBC+△PCA+△PAB
=a*PD/2 + a*PE/2 + a*PF/2=a*(PD+PE+PF)/2=39a/2

また,△ABC=(1/2)*a*a*sin60°=(√3)(a^2)/4
つまり,39a/2=(√3)(a^2)/4
a>0から,39=(√3)a/2,a=78/√3=26√3です.

この方法だと,PD+PE+PF=一定で正三角形の高さということには気づきにくいですね.僕がはじめに気付かなかったこともそのためと思います.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、詳しい解答を有難う御座います。
貴殿の解き方は、先に辺の長さを代入し、後で辺の長さaで割っていますね。
私の解答と逆にしているだけで本質は変わりません。
ただ、問題に与えられた数値を代入するのは、後の方が、本質が分かりますので、
私はなるべく代入を後にします。

黒翼  
No title

そうですね.確かにこのような解き方だと本質を見失いがちですね.

僕はこういう解法のくせがついちゃってるのかもしれないです.答はしっかり出るのであまり気にすることではないかもしれないですが,問題の本質をとらえようとするときには,かなり困りますね.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。