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[答271] マス目の交点を結ぶ正三角形

ヤドカリ

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[答271] マス目の交点を結ぶ正三角形


 横が√3 で縦が1のマス目があり、縦横の線の交点を格子点と呼ぶことにします。

 その3つの格子点を頂点とする正三角形のうち、どの辺も縦横の線に重ならないものを考えます。

 図の正三角形はその一例で、1辺が 2√13、面積は 13√3 で、2番目に小さいものです。

 では、3番目に小さいものの面積は、最小のものの面積の何倍?


[解答]

 最小のものは、上の中の図で、1辺が 2√7、面積は 7√3 です。

 3番目に小さいものは、下の左の図で、1辺が 2√19、面積は 19√3 です。

 従って、3番目に小さいものの面積は、最小のものの面積 19/7 倍です。

☆ 下の右の図は、1辺が 2√21、面積は 21√3 で3番目ではありません。


[参考1]

 このような正三角形を作るのに、青線で示したような、縦横の線を1辺とする正三角形をもとに、

 辺の同じ比の内分点を結ぶと分かりやすいです。

 ただし、中点や 1:2,2:1 に内分する点を使うと、1辺が縦横の線に重なります。


[参考2]

 a,bを整数として、複素平面上で、a√3+bi を60゚回転すると、

 (a√3+bi)(1+√3i)/2={(a-b)/2}√3+{(3a+b)/2}i となるので、

 正三角形を描くには、a,bが偶数どうし または 奇数どうしである点(緑の点)を3つ結ぶことになります。


[参考3]

 下の図のように、内側(ピンク)の正三角形の頂点を通る、傾きが ±1/√3 の直線と縦の直線で、

 外側に正三角形を作ります。

 [参考2]のように、内側の正三角形の頂点は、緑の点だけだから、

 外側に正三角形の頂点も緑の点だけになります。

 外側の正三角形の頂点と内側の正三角形の頂点の距離を 2m,2n (m≧n)とすれば、

 外側の正三角形の面積は、マス目の長方形 (2m+2n)(m+n)/2=(m+n)2 個分で、

 内側の正三角形の面積は、マス目の長方形 3(2m・n/2)=3mn 個分を引いて、

 (m+n)2-3mn=m2-mn+n2=(m-n)2+(m-n)n+n2 だから、

 上に m-n,左に n をとって、m2-mn+n2 の表を作りました。

 表の中の赤の数字は、m:n=1:1 または m:n=2:1 の場合です。

 従って、縦横の線を含まない正三角形の面積として考えられるのは、長方形の面積の個数にして、

 7,13,19,21,28,31,37,39,43,49,52,57,61,63,67,…… になります。

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Comments 19

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

おはようございます。
大人の雰囲気ですね~アリッサムでしょう(^-^)
ポチ!

黒翼  
No title

この問題は,考えやすい縦線を含む正三角形を内分して考えるのですね.

参考2のようにして,点の座標の候補を絞り込むのも重要に思えます.

黒翼  
No title

Wポチ成功しました.

これからも勉強させていただきます.

アキチャン  
No title

おはようございます。
画面いっぱいの藤色・・・きれいですネ~ (o^-^o)
ポチ♪

古い人  
No title

アリッサムの花細かくて綺麗ですね。

私は始めて見た時は散った花びらが粉状に見えて笑われました。

私の見た色は白色でした。 ポチ。

Yasuko  
No title

アリッサム!ちっちゃなお花が集まって咲く可愛いお花!
花は小さくて甘い香りを放つようですよ~✿
今日も雨が降り嫌ですね!
☆ポチ

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
解法の1はなるほど!!
but...
たとえば...10番目に大きなものとかは、ややこしそう...^^;?
偶奇が一致の方向からなら...
(a,b)=(3,1),(4,2),(5,1),(5,3),(6,2),(7,1),(6,4),(7,3),(7,5),(8,2),(9,1)
3a^2+b^2=28,52,76,84,112,148,124,156,172,196,244
から...(8,2) と比較的簡単にわかるような気がするけど...^^

uch*n*an  
No title

私は二つの方法で解きました。
(解法1)は[参考2]のような 60°回転を使う解法,(解法2)は[参考1]に基づいた[解答]と同じです。
ご参考までに書き込むか迷いましたが,いずれも,[解答]よりも一般的かつ理屈っぽく,
解答解説の雰囲気と合わないので,今回はやめておきます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
アリッサムはランタナの団体のようで、見ごたえがあります。
本当に沢山の花が咲いていました。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
裏付けをとるのは数学ですが、この問題はパズルのような感覚で作りました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花は割に花期が長いので楽しめる花です。
同じ時期に咲いていた藤の花はもうみることができません。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
白のアリッサムも咲いていました。明日、使おうと思っています。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このアリッサムは堺市の大浜公園の入口に咲いていました。
少し前の写真ですが、花期が長いので、まだ咲いていると思います。
行く機会があれば確かめておきます。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
だいぶ復活されてきましたね。喜ばしいと同時に、
> たとえば...10番目に大きなものとかは、ややこしそう...^^;?
なんて、難題を書かれて……

今日は時間があったので、記事を追加しました。
ご覧下さい。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
> 解答解説の雰囲気と合わない
は、仰る通りで、この問題はパズルのような感覚で作ったものです。
条件を「マス目の長方形の対角線の長さは短い辺の2倍」とでも書けば、
算チャレあるいは浮浪の館ででも通用しそうな問題と思います。

黒翼  
No title

なるほど,パズルのような感覚の問題ですが,きっちりと説明するにはそれなりの手順が必要ですね.

もう一度ポチを押したいくらい感動しました.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
一般的に考えると難しいので、試行錯誤でも解ける、面積の小さいもの3つを扱いました。

こっこちゃん  
No title

こんばんは

アルッサム と ランタナ 親戚ですか~~笑い^^ ポチ

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
リコメを失念しており、申し訳ありません。
私にとっては、アルッサムとランタナは親戚です。
違いは、アルッサムは大家族で、ランタナは小家族ということです。(笑)