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[答272] 最大面積と直径

ヤドカリ

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[答272] 最大面積と直径


 図のように、円と長さ11の弦ABに対して、円周上の2点C,Dをつないでできる四角形ABCDの面積の

 最大値が 40√5 になるとき、この円の直径は?


[解答]

 以下の解答のように、結果的に BC=CD=DA=9 になります。

 AC=BD より、トレミーの定理から、AC2=11・9+9・9 だから、AC=BD=6√5 、

 また、△BDA:△BCD=11:9 より、△BDA=(11/20)・40√5=22√5 となって、

 △BDAの面積をS,外接円の直径をR とすれば、

 4R=DA・AB・BD/S=(11・9・6√5)/(4・22√5)=27 、2R=27/2 です。

 △BDA=(1/2)DA・AB・sin∠DAB=(99/2)sin∠DAB=22√5 より、sin∠DAB=(4/9)√5 、

 正弦定理より、2R=BD/sin∠DAB=27/2 としても求められます。

 また、台形の高さをhとすれば、h2=92-{(11-9)/2}2=80 、

 h=4√5 、sin∠DAB=(4√5)/9 、正弦定理より、2R=BD/sin∠DAB=27/2 としても求められます。


[解答1]

 点Dを固定して考えると、四角形ABCDの面積を最大にするには、

 △BCDの面積を最大にすればよいのですが、

 BDを底辺とすれば、BC≠CD のときは △BCDの面積は最大になりません。

 従って、BC≠CD のときは 四角形ABCDの面積は最大になりません。

 同様に、点Cを固定して考えると、CD≠DA のときも 四角形ABCDの面積は最大になりません。

 つまり、四角形ABCDの面積が最大になるのは、BC=CD=DA のときです。

 BC=CD=DA=x とすると、ブラーマグプタの公式により、

 四角形ABCD2={ (3x+11)/2-11 }{ (3x+11)/2-x }3=(3x-11)(x+11)3/16

 よって、(3x-11)(x+11)3/16=8000 、(3x-11)(x+11)3=16・203

  (ここで、x=9 が1つの解になることが分かります)

 x+11=y とおくと、y3(3y-44)/16=8000 、3y4-44y3-128000=0 、

 (y-20)(3y3+16y2+320y+6400)=0 、y>0 だから、y=20 、x=9 になります。

☆ 面積をC,Dの位置の変化についての関数と考えれば有界で連続だから最大値が存在します。


[解答2] uch*n*anさんの解答

 まず,円の半径を r として,r を固定して考えます。

 BC=a,CD=b,DA=c,2s=a+b+c+11 とおき,プラーマグプタの公式を使うと,

 S=四角形□ABCD=√{(s-a)(s-b)(s-c)(s-11)}

 S2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-11)=(s-a)(s-11)1/3・(s-b)(s-11)1/3・(s-c)(s-11)1/3

 相加相乗平均より

  ≦〔{(s-a)(s-11)1/3+(s-b)(s-11)1/3+(s-c)(s-11)1/3}/3〕3

  =(s-a+s-b+s-c)3(s-11)/27={3s-(2s-11)}3(s-11)/27

  =(s+11)3(s-11)/27

 等号は a=b=c のときで,s>11 です。

 f(s)=(s+11)3(s-11) のグラフを考えると s>11 で単調増加と分かるので,

 a=b=c かつ s が最大のときに S が最大になります。

 そこで,s の様子を調べるために,図形的状況を調べます。

 まず,円の中心を O とすると,四角形ABCD が O を内部に含むか辺上にもつ場合を考えれば十分です。

 O がどの辺の外部にある場合でも同様ですが,

 例えば,O が AB に関して 四角形ABCD の外部にある場合には,

 弦AB に対して,O を通って AB に平行な直線に関し対称な 弦A'B' を取れますが,

 四角形A'B'CD は O を内部に含み,AB=A'B',AD<A'D,BC<B'C なので,

 四角形A'B'CD の方が s が大きくなり,

 今は,s の最大を調べるので,O を内部に含む 四角形A'B'CD を考えれば十分だからです。

 そこで,∠BOC=2x,∠COD=2y,∠DOA=2z,∠AOB=2u とおくと,

 2x+2y+2z+2u=360゚ ,x+y+z+u=180゚ ,x+y+z=180゚-u

 0<x,y,z,u<180゚,0<x+y+z<180゚ がいえており,

 r を固定しているので u は定数で,180゚-u も定数です。

 そして,s=(a+b+c)/2+11/2 なので,(a+b+c)/2=r(sin x +sin y +sin z)

 ここで,sin のグラフは 0゚~ 180゚ で上に凸であることに注意すると,

 (sin x +sin y +sin z)/3≦sin{(x+y+z)/3}=sin{(180゚-u)/3} がいえます。

 ただし,等号は x=y=z です。

 そこで,(a+b+c)/2=r(sin x +sin y +sin z)≦3r・sin{(180゚-u)/3}=定数

 等号は x=y=z=(180゚-u)/3 ですが,t=2r・sin{(180゚-u)/3} とおけば,

 これは a=b=c=t を意味しており,s≦(3t+11)/2 となります。

 これより,(s+11)3(s-11)/27 の単調増加性より,

 S2≦(s+11)3(s-11)/27≦{(3t+11)/2+11}3{(3t+11)/2-11}/27

 S2≦(s+11)3(s-11)/27≦(t+11)3(3t-11)/16

 等号はどちらも a=b=c=t で成立します。

 そこで,S の最大値を Smax と書くと,(4Smax)2=(3t-11)(t+11)3 になります。

 この問題では,Smax=40√5 なので,(3t-11)(t+11)3=16(40√5)=16・8000

 これが t=9 を解にもつのはすぐに分かります。

 しかも,g(t)=(3t-11)(t+11)3 のグラフを調べれば,これが t>0 で唯一の解と分かります。

 そこで,t=9 に確定です。

.

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Comments 17

There are no comments yet.
黒翼  
No title

難しい…

でも,要するにはBC=CD=DAの条件に気づき,その長さを求めるところまで持っていくという流れですね.

ポチ☆

黒翼  
No title

Wポチ☆☆成功しました.

ニリンソウ  
No title

ナニワイバラの一重の花が好き!
栽培するには棘が鋭く 難儀でしょう。
爽やか~な朝です。 ポチ

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
そっか!!
幾何学的に3辺が等しいときになることは言えるんですねぇ♪
トレミーの定理使っても面積はでないよなぁ...
って勝手に思い込んでた嫌いあったりしました...^^;;...無念...
いつも何か盲点に気づかされます...Orz~v

tsuyoshik1942  
No title

「最大面積となる時、三辺は等しい」ことを、自分は次のように考えました。

ABの垂直二等分線を引き、CDとの交点をPとする。Pを通るABの平行線を引き円との交点をC'およびD'とする。
このとき、△PCC'と△PDD'を比較することにより、
□ABCD<□ABC'D'がいえるので、□ABCDが最大となるのはABとCDが平行なとき、BC=ADのときである。

いま、BC=ADである□ABCDが最大面積を持つ四角形とする。この四角形の△BCDを切り離し、BとDを置き換える。
この新しい□ADCBにおいてもADとBCが平行になるはずである。(もし、平行でないなら、もっと大きな四角形が存在することとなる)故に、CD=BCとなる。
すなわち、最大面積をもつ四角形の三辺は等しい。

自分ではしゃれた解法と悦に入ってたのですが、解答「1」の方がずーと簡明ですね!

uch*n*an  
No title

なるほど。少し直感的ではありますが,[解答1]の幾何学的考察で十分そうですね。
[解答2]は,それをもう少し式のレベルで詰めたものだと思って下さい。
なお,[解答2]で,円の中心 O が □ABCD の外部にある場合を,
幾何学的考察によって排除していますが,
少し技巧的ですが,次のようにすれば,実はこれは不要です。
そうしておけば,さらに図に頼らない記述になります。

uch*n*an  
No title

∠BOC = 2x,∠COD = 2y,∠DOA = 2z,∠AOB == 2u とおき,常に,
2x + 2y + 2z + 2u = 360°
となるように取ります。これは,
O が □ABCD の内部又は辺上にある場合には,角度を 180°以下になる方で取り,
例えば,O が BC に関して □ABCD の外部にある場合には,
∠BOC = 2x を 180°を超える方で取り,それ以外は 180°以下で取る,
O が他の辺に関して外部にある場合も同様,
という定義になります。
こうしておけば,O と □ABCD の位置関係に係わらず,常に,
2x + 2y + 2z + 2u = 360°,x + y + z + u = 180°,x + y + z = 180°- u
0 < x, y, z, u < 180°,0 < x + y + z < 180°
がいえて,一般に,sinθ = sin(180°- θ) より,
(a + b + c)/2 = r * (sin(x) + sin(y) + sin(z))
もいえ,その後の議論もそのままいえます。

uch*n*an  
No title

この方が論理的には多少スッキリしているかも知れません。
個人的にはこの方が好きなのですが,ただこれは少し技巧的な気がしたので,
どちらがいいのか迷いましたが,より直感的で分かりやすそうな[解答2]にしました。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
Wがうまくなりましたね。私の所で何度もしていただいて有難いです。
さて、
問題は、仰る通り、BC=CD=DAの条件に気づき,その長さを求めると、何とかなります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私は見て撮るだけですので、棘までは気にしませんが、
花を育てられている貴女にとっては大問題ですね。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
だいぶペースが「復旧」してきたようですね。
常連さんが欠けた時期は淋しいものでした。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
貴殿が、BC=CD=DA の裏付けをとるのに対称性を意識されていたことを感じましたが、
[解答1]の説明は、円に内接するn角形で、最大面積のものが正n角形であることの説明にも
転用できますので、この方法を書きました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
やはり式変形だけで BC=CD=DA を示すと長くなりますね。
貴殿の解答コメントがなかったら、私には[解答2]は書けません。

1kurage  
No title

中学も満足に行ってないクラゲです。
笑ってしまいました。
こんな難しいものを・・と・(*^_^*)

ヤドカリ  
No title

クラゲさん、コメントを有難う御座います。
数学の問題や解答だけでは殺風景なので、花の写真を添えています。
人によって、文章中の興味ある部分というのは異なりますので、
適宜、読み飛ばして下さいね。

いっちゃん  
No title

こんばんは~
ナニワイバラ、ナニワイバラですねぇ^^
可愛いです。去年写生しましたがなかなか難しいですね。。観るだけがいいです。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
アリッサムの横に咲いていました。
花の写生をなさるのですか、はじめて知りました。