[答272] 最大面積と直径

[答272] 最大面積と直径


　図のように、円と長さ11の弦ABに対して、円周上の２点C，Dをつないでできる四角形ABCDの面積の

　最大値が 40√5 になるとき、この円の直径は？


[解答]

　以下の解答のように、結果的に BC＝CD＝DA＝9 になります。

　AC＝BD より、トレミーの定理から、AC²＝11･9＋9･9 だから、AC＝BD＝6√5 、

　また、△BDA：△BCD＝11：9 より、△BDA＝(11/20)･40√5＝22√5 となって、

　△BDAの面積をS，外接円の直径をR とすれば、

　4R＝DA･AB･BD/S＝(11･9･6√5)/(4･22√5)＝27 、2R＝27/2 です。

　△BDA＝(1/2)DA･AB･sin∠DAB＝(99/2)sin∠DAB＝22√5 より、sin∠DAB＝(4/9)√5 、

　正弦定理より、2R＝BD/sin∠DAB＝27/2 としても求められます。

　また、台形の高さをｈとすれば、h²＝9²－{(11－9)/2}²＝80 、

　h＝4√5 、sin∠DAB＝(4√5)/9 、正弦定理より、2R＝BD/sin∠DAB＝27/2 としても求められます。


[解答1]

　点Dを固定して考えると、四角形ABCDの面積を最大にするには、

　△BCDの面積を最大にすればよいのですが、

　BDを底辺とすれば、BC≠CD のときは △BCDの面積は最大になりません。

　従って、BC≠CD のときは 四角形ABCDの面積は最大になりません。

　同様に、点Cを固定して考えると、CD≠DA のときも 四角形ABCDの面積は最大になりません。

　つまり、四角形ABCDの面積が最大になるのは、BC＝CD＝DA のときです。

　BC＝CD＝DA＝x とすると、ブラーマグプタの公式により、

　四角形ABCD²＝{ (3x＋11)/2－11 }{ (3x＋11)/2－x }³＝(3x－11)(x＋11)³/16

　よって、(3x－11)(x＋11)³/16＝8000 、(3x－11)(x＋11)³＝16･20³ 、

　 (ここで、x＝9 が１つの解になることが分かります)

　x＋11＝y とおくと、y³(3y－44)/16＝8000 、3y⁴－44y³－128000＝0 、

　(y－20)(3y³＋16y²＋320y＋6400)＝0 、y＞0 だから、y＝20 、x＝9 になります。

☆ 面積をC，Dの位置の変化についての関数と考えれば有界で連続だから最大値が存在します。


[解答2] uch*n*anさんの解答

　まず，円の半径を r として，r を固定して考えます。

　BC＝a，CD＝b，DA＝c，2s＝a＋b＋c＋11 とおき，プラーマグプタの公式を使うと，

　S＝四角形□ABCD＝√{(s－a)(s－b)(s－c)(s－11)}

　S²＝(s－a)(s－b)(s－c)(s－11)＝(s－a)(s－11)^1/3･(s－b)(s－11)^1/3･(s－c)(s－11)^1/3

　相加相乗平均より

　 ≦〔{(s－a)(s－11)^1/3＋(s－b)(s－11)^1/3＋(s－c)(s－11)^1/3}/3〕³

　 ＝(s－a＋s－b＋s－c)³(s－11)/27＝{3s－(2s－11)}³(s－11)/27

　 ＝(s＋11)³(s－11)/27

　等号は a＝b＝c のときで，s＞11 です。

　f(s)＝(s＋11)³(s－11) のグラフを考えると s＞11 で単調増加と分かるので，

　a＝b＝c かつ s が最大のときに S が最大になります。

　そこで，s の様子を調べるために，図形的状況を調べます。

　まず，円の中心を O とすると，四角形ABCD が O を内部に含むか辺上にもつ場合を考えれば十分です。

　O がどの辺の外部にある場合でも同様ですが，

　例えば，O が AB に関して 四角形ABCD の外部にある場合には，

　弦AB に対して，O を通って AB に平行な直線に関し対称な 弦A'B' を取れますが，

　四角形A'B'CD は O を内部に含み，AB＝A'B'，AD＜A'D，BC＜B'C なので，

　四角形A'B'CD の方が s が大きくなり，

　今は，s の最大を調べるので，O を内部に含む 四角形A'B'CD を考えれば十分だからです。

　そこで，∠BOC＝2x，∠COD＝2y，∠DOA＝2z，∠AOB＝2u とおくと，

　2x＋2y＋2z＋2u＝360ﾟ ，x＋y＋z＋u＝180ﾟ ，x＋y＋z＝180ﾟ－u

　0＜x，y，z，u＜180ﾟ，0＜x＋y＋z＜180ﾟ がいえており，

　r を固定しているので u は定数で，180ﾟ－u も定数です。

　そして，s＝(a＋b＋c)/2＋11/2 なので，(a＋b＋c)/2＝r(sin x ＋sin y ＋sin z)

　ここで，sin のグラフは 0ﾟ～ 180ﾟ で上に凸であることに注意すると，

　(sin x ＋sin y ＋sin z)/3≦sin{(x＋y＋z)/3}＝sin{(180ﾟ－u)/3} がいえます。

　ただし，等号は x＝y＝z です。

　そこで，(a＋b＋c)/2＝r(sin x ＋sin y ＋sin z)≦3r･sin{(180ﾟ－u)/3}＝定数

　等号は x＝y＝z＝(180ﾟ－u)/3 ですが，t＝2r･sin{(180ﾟ－u)/3} とおけば，

　これは a＝b＝c＝t を意味しており，s≦(3t＋11)/2 となります。

　これより，(s＋11)³(s－11)/27 の単調増加性より，

　S²≦(s＋11)³(s－11)/27≦{(3t＋11)/2＋11}³{(3t＋11)/2－11}/27

　S²≦(s＋11)³(s－11)/27≦(t＋11)³(3t－11)/16

　等号はどちらも a＝b＝c＝t で成立します。

　そこで，S の最大値を Smax と書くと，(4Smax)²＝(3t－11)(t＋11)³ になります。

　この問題では，Smax＝40√5 なので，(3t－11)(t＋11)³＝16(40√5)＝16･8000

　これが t＝9 を解にもつのはすぐに分かります。

　しかも，g(t)＝(3t－11)(t＋11)³ のグラフを調べれば，これが t＞0 で唯一の解と分かります。

　そこで，t＝9 に確定です。

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