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[答273] 3色での塗り分け

ヤドカリ

ヤドカリ



[答273] 3色での塗り分け


 図のように、14個の長方形が1列に並んでおり、両端に赤を塗ります。

 中の 12個の長方形を、赤・緑・青で塗り分けます。

 隣り合う長方形には異なる色を塗るとき、塗り方は何通り?


[解答1]

 中の長方形がn個のときの塗り方を an 通りとします。

 中の 12個の長方形を、左から順に、左隣と異なる色を塗る方法は、212 通りあって、

 そのうちの右端が赤の塗り方は a11 通りで、それ以外が a12 通りです。

 従って、a12=212-a11 になります。

 同様に、漸化式 an+1=2n+1-an が得られます。

 an+1-2n+2/3=-(an-2n+1/3) 、

 数列{ an-2n+1/3 }は公比が -1 の等比数列です。

 an-2n+1/3=(a1-4/3)(-1)n-1

 ここで、a1=2 だから、an=2{2n-(-1)n}/3 になります。

 a12=2{212-(-1)12 }/3=2730 通りです。


[解答2] uch*n*anさんのコメントより

 左端が赤で n 個の長方形を並べた場合において,

 さらにその右,n+1 番目が,赤を an 通り,青を bn 通り,黄を cn 通り,とすると,

 an=bn-1+cn-1=(an-2+cn-2)+(an-2+bn-2)

 =(bn-2+cn-2)+2an-2=an-1+2an-2

 ただし,a1=2, a2=2 です。

☆ 漸化式 an=an-1+2an-2 の解き方

 an+an-1=2(an-1+2an-2) と変形すれば、

 数列{ an+1+an }は公比が 2 の等比数列です。

 an+1+an=(a2+a1)・2n-1=2n+1

 以下、[解答1]と同様に解いてもいいし、

 an-2an-1=-(an-1-2an-2) と変形すれば、

 数列{ an+1-2an }は公比が -1 の等比数列です。

 an+1-2an=(a2-2a1)・(-1)n-1=2(-1)n

 an+1+an=2n+1,an+1-2an=2(-1)n の差をとれば、

 3an=2n+1-2(-1)n です。


[解答3] 再出発さんのコメントより

 左端(第0枠)が赤で 第n枠が 赤を an 通り,青または黄色を bn 通りとすると、

 a1=0,b1=2,an+1=bn,bn+1=2an+bn

 が成り立ちます。

 an+1+bn+1=2(an+bn) だから、

 数列{ an+bn }は公比が 2 の等比数列です。

 an+bn=(a1+b1)・2n-1=2n

 an+1-bn+1/2=-(an-bn/2) だから、

 数列{ an-bn/2 }は公比が -1 の等比数列です。

 an-bn/2=(a1-b1/2)・(-1)n-1=(-1)n

 an+bn=2n,an-bn/2=(-1)n の差をとれば、

 (3/2)bn=2n-(-1)n 、bn=2{2n-(-1)n}/3 になります。

 本問で求めるのは b12=2{212-(-1)12 }/3=2730 通りです。

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Comments 14

There are no comments yet.
黒翼  
No title

前の問題ととても似ていますが,この問題にも独特の解法は存在するのですね.

僕は解答1の漸化式を導いたのですが,解答にある,右端が赤の場合がA11通り,それ以外がA12通りというのがピンとこないです.

いっちゃん  
No title

おはようございます。
鮮やかで可愛い睡蓮ですね。。まるで砂糖菓子みたいです^^
ポチ

アキチャン  
No title

おはようございます。
最近、お花だけの作り物がありますが、
まるでそのようですね・・・これは褒め言葉ではないですね f(^_^;
ポチ♪

uch*n*an  
No title

私は二つの方法で解きました。
(解法1)が[解答1]と同じ,(解法2)が[解答2]でした。
なお,[解答3]の bn は,[解答2]の bn + cn なので,実質は同じ漸化式ですね。

ニリンソウ  
No title

あ。。。睡蓮だ!
そんな季節になりましたかね~梅雨入りはまだですか。
ポチ

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
右端が赤の場合がA11通り,それ以外がA12通りというのは、
1~12 に左と違う色を塗っていくと、
12の所が赤になるのがA11通り,青か緑になるのがA12通りということです。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
砂糖菓子ですか。以前も花を食べ物に例えられたことがあったように思います。
発想が面白いですね。私は水の上に水に融けるものを発想できません。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
最近、本当に本物と見まがうものもありますね。
でも、池のみなもにそのようなものを置く酔狂な人はいないように思います。
私は沢山の睡蓮が咲いているのを見ましたので。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、鍵コメントと添え字のずれを指摘して頂き、有難う御座います。
早速、訂正させて頂きました。
lim[n→∞]2{2^n-(-1)^n}/(3*2^n) については、分母は 3*3^n だと思います。
そうしないと、塗り方全てを対象にすることにならないからです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
> [解答3]の bn は,[解答2]の bn + cn なので,実質は同じ漸化式ですね。
は、その通りですが、連立漸化式の説明の都合上、
2つの数列{an},{bn}だけのほうが好都合でした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
こちらでは、昨日、梅雨入りしました。
そして、明日から3日間は、台風情報も気にしなければなりません。
睡蓮は、もう、所々で咲いていますょ。

黒翼  
No title

了解しました.

解説ありがとうございます.お礼にポチを☆

黒翼  
No title

Wポチ☆☆成功しました.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
内容が分かって頂けたようで、嬉しいです。