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[答276] 数列の和と逆数の和

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答276] 数列の和と逆数の和


 a1=1 ,すべての自然数nについて an≧1 である数列{ an }があって、

 数列{ an }の初項から第n項までの和を Sn ,数列{ 1/an }の初項から第n項までの和を Tn として、

 すべての自然数nについて SnTn=n2(n+2)/3 が成り立つ最大のものを an とするとき、 a23=?


[解答]

 (Sn+an+1)(Tn+1/an+1)=Sn+1Tn+1 だから、

 SnTn+Tnan+1+Sn/an+1+1=Sn+1Tn+1

 n2(n+2)/3+Tnan+1+Sn/an+1+1=(n+1)2(n+3)/3 、

 Tnan+1+Sn/an+1=(3n2+7n)/3 になります。

 また、Tnan+1・Sn/an+1=n2(n+2)/3 です。

 x2-{(3n2+7n)/3}x+n2(n+2)/3=0 を解くと、x=n(n+2),n/3 だから、

 Sn/an+1=n(n+2) または Sn/an+1=n/3 になります。

 nan+1=Sn/(n+2) または nan+1=3Sn なので、大きい方は後者です。

 nan+1=3Sn で、形式的に n=0 を代入すれば、S0=0 ですので、

 すべての自然数nについて an=Sn-Sn-1 が成り立ちます。

 nan+1=3Sn ,(n-1)an=3Sn-1 を辺々減じて、

 nan+1-(n-1)an=3an 、 nan+1=(n+2)an 、 an+1/{(n+2)(n+1)}=an/{(n+1)n} となって、

 an/{(n+1)n} は一定、 an/{(n+1)n}=a1/(2・1)=1/2 、 an=(n+1)n/2 です。

 a23=24・23/2=276 になります。

☆ Tnan+1=n(n+2) となりますが、これから an を求めてみます。

 Tn=n(n+2)/an+1 ,Tn-1=(n-1)(n+1)/an を辺々減じて、

 1/an=n(n+2)/an+1-(n-1)(n+1)/an 、 n(n+2)/an+1=n2/an 、 (n+2)(n+1)/an+1=(n+1)n/an となって、

 (n+1)n/an は一定、 (n+1)n/an=2・1/a1=2 、 an=(n+1)n/2 です。


[参考]

 問題文に「最大のもの」という条件がないと、a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,a5=15 まではいいのですが、

 S5=35 となって、nan+1=Sn/(n+2) または nan+1=3Sn なので、

 a6=1 または a6=21 になり、その後はどんどん分岐し、

 uch*n*anさんによれば、a23 は 27526 通りの答があります。(私も確認しました)

 自然数になるものだけでも、84,90,95,105,110,126,130,135,242,276 の10通りありました。

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Comments 20

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アキチャン  
No title

おはようございます。
白いお花はいいですネ・・・ツユクサの種類なんですネ (o^-^o)
ポチ♪

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
なるほどぉ~♪
根と係数の関係&漸化式からの一般式を求めるっていう複合技...
これって...十分...難関大学入試レベルじゃございませんのこと...^^;?
ちなみに...小さいほうの一般式はどうなるんだろ...?
複雑になりそうな予感...^^;;...

uch*n*an  
No title

私の解法は,計算の仕方に若干の相違はあるものの[解答]と同じでした。
最初「最大のもの」という条件がなかったときは,やはり,
n = 4 ぐらいまで試して a(n) = n(n+1)/2 を予想し,数学的帰納法で証明しようとしたら,
n >= 6 で分岐が許されることに気付き,大変なことになりそうだ,と思った次第です (^^;
なお,条件は「単調に増加する数列」でもよさそうです。

そういえば,以前は,楽しい算数問題,も結構あった気がしますが,
最近は,問題のレベルがかなり高くなっているように思います。

uch*n*an  
No title

>ちなみに...小さいほうの一般式はどうなるんだろ...?
>複雑になりそうな予感...^^;;...
一般に,n >= 6 では常に分岐が可能になるので,a(n) までに 2^(n-5) の枝が発生します。
ただ,小さい方を取り続けるとどんどん小さくなって行くので,
どこかで 1 より小さくなり,枝は終息します。
実際,a(23) では,27526 通りですが,2^(23-5) = 2^18 = 262144 なので,
1/10 強しか生き残っていません。
しかし,分岐が可能な場合に分岐のどちらを取るかは自由なので,
これらの枝の状況をすべて追って,a(n) を式で書き下すのは,
規則は決まっているので不可能ではないでしょうが,難しそうな気がします。
少なくとも私は,考える気になれないです。
そんな時間があったら,他にしなければならないことが一杯あるし...と,逃げる (^^;

スモークマン  
No title

>uch*n*anさんへ ^^
説明いただきありがとうございました♪
やっぱりそうなのか...Orz~
わたしは...漸化式からの一般式作るの苦手なものですから、どうなんだろって素朴にわかれば知りたいなって思ったもので...^^;
やどかりさんも触れられてないところからすると...ある程度予想はしてましたが...^^...カオスっぽくなるのかなぁ...って、またいい加減な事書いたり...^^;;...Orz...

ニリンソウ  
No title

今日は白のツユクサですか、白露草というのかな?
やっぱり雫乗せていますね、 ちょっとピンクが入って
お洒落な感じです。 ポチ!

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ムラサキツユクサが研究によく使われることは私も聞いたことがあります。
生物学の発展にも貢献しているのですね。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
あと何年と仰らずに、勉強なさって下さい。
このブログが役立てば幸いです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私は今年になって初めて白いのを見ました。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
難関大学入試レベルですか。そのように意識したわけではありません。
ちなみに、小さいほうの一般式は考えたくありません。
an≧1 の条件がなければ、2/{(n+1)n} ですけど。

再出発  
No title

おそるおそる質問です。
a(1)=1
na(n+1)=S(n)/(n+2) ・・・①
からは
a(2)=1/3<1
と考え、①は不適として捨てました。
ここで捨ててはいけないのでしょうか。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
> 最近は,問題のレベルがかなり高くなっているように思います。
意識していませんでしたが、そうかも知れません。
算数や中学数学の知識の少ない段階での気の利く問題を中々思いつかないからでしょうか。
可及的速やかに、そんな問題を思いつくよう努力します。
「可及的速やか=そのうち」です。悪い冗談でした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
ちょっと雫のついた花は、梅雨らしくて、私も好きです。
ツユクサも知らない種類がいろいろあるのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

再出発さん、質問にお答えします。
na(n+1)=S(n)/(n+2) または na(n+1)=3S(n) は、全てのnについて、成立します。
全てのnについて、どちらを選んでもよいということです。

再出発  
No title

ヤドカリ様
> 全てのnについて、どちらを選んでもよいと
なるほどぉ。頭硬いみたいなのでゆっくり考えます。
ありがとうございました。

ヤドカリ  
No title

再出発さん、コメントを有難う御座いました。

tsuyoshik1942  
No title

> 最近は,問題のレベルがかなり高くなっているように思います。
同感です。高等数学の素地を持たぬ自分は特に強く感じます。
そんな問題の時は、web検索等で調べ、なんとかしがみついております。答を見つけるという目的のもと、調べる作業自体に張りがあり楽しんでおります。

黒翼  
No title

>最近は,問題のレベルがかなり高くなっているように思います.

僕も同感ですね.まだ数学を学んでいる途中で,しかも定着が浅い僕にとっては少しでもひねった問題が出てくると全く手が出ません.

tsuyoshik1942さんのようにweb検索するのは,とても時間が無いため解けない問題は簡単にあきらめたりもします.

uch*n*anさんやtsuyoshik1942さんのように全ての問題に立ち向かえるようになりたいですね.

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
存じませんでしたが、web検索等で調べられることもあるのですね。
楽しみながら、学習されるのが1番かと思います。
貴殿の学習に、少しでもお役に立てれば幸いです。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
「定着が浅い」というのは謙遜かどうか分かりませんが、少しでも深まれば嬉しいです。
私も、出題し解答を示すことによって、深まっていると自分で感じます。