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[答283] 平行四辺形の面積の最大値

ヤドカリ

ヤドカリ



[答283] 平行四辺形の面積の最大値


 図のように、AB=4,BC=7,CD=1,∠B=∠C=90゚ の台形ABCDがあって、

 辺DA上にP,辺AB上にQ,辺BC上にR をとって、平行四辺形DPQRを作ります。

 このとき、平行四辺形DPQRの面積の最大値は?


[解答1] 普通に2次関数を使えば

 BR=x (0<x<7)とすると、RC=7-x,QB=3x/7 になります。

 従って、

 平行四辺形DPQR=2△DQR=2(台形QBCD-△QBR-△RCD)=2台形QBCD-2△QBR-2△RCD

  =(QB+CD)・BC-QB・BR-RC・CD=(3x/7+1)・7-(3x/7)x-(7-x)・1

  =-3x2/7+4x=-3(x-14/3)2/7+28/3

 従って、BR=14/3 のとき、平行四辺形DPQRの最大値は 28/3 です。


[解答2]

 右上図のように、点Sを辺AD上にとって 平行四辺形AQRS を作ると、△AQP≡△SRD だから、

 平行四辺形PQRD=平行四辺形AQRS=AQ・BR=AQ・(7/3)QB=(7/3)AQ・QB

  =(7/3){(AQ+QB)2-(AQ-QB)2}/4=(7/12){16-(AQ-QB)2}

 よって、AQ=QB 、すなわち、Qが辺ABの中点のとき、最大値 28/3 です。

 もちろん、相加・相乗平均の関係により、

 √(AQ・QB)≦(AQ+QB)/2=2 だから、AQ・QB≦4 、としても同じです。


[解答3] (tsuyoshik1942さんも同じような解答でした)

 AD,BC を延長し、その交点をEとします。

 左下図のように、点Sを辺AD上にとって 平行四辺形AQRS を作り、

 点Hを辺AB上にとって 長方形HBRC 作ると、

 △AQP≡△SRD だから、平行四辺形PQRD=平行四辺形AQRS=長方形HBRS です。

 中央の図のように、QがABの中点以外のとき 長方形HBRS<△ABE/2 で、

 QがABの中点であるとき 長方形HBRS=△ABE/2 ですので、このときに 長方形HBRS の面積は最大です。

 △ABE:△DCE=42:12=16:1 より、

 △ABE=(16/15)台形ABCD=(16/15)(1/2)(4+1)・7=56/3 ですので、

 平行四辺形PQRDの最大値は (56/3)/2=28/3 です。

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Comments 20

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Yasuko  
No title

おはようございます♪
毎日☂ばかりで気がめいります!
お花は輝いていますが~~
☂に濡れたカンナは色鮮やかです~✿
☆ポチ

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
解法3の等積変形に気づきたかったですぅ~♪
直角三角形に上のような長方形を作るとき最大の面積は...
底辺:a, 高さ:b,...底辺上にx の長さの辺, 高さ:y をもつ長方形を作ると...
長方形の面積: xy
y/x=b/(a-x) なので...xy=x(a-x)*(b/a)...から...x=a/2 のとき Max
になるわけですね ^^
一般の三角形で底辺に長方形の1辺をもつときの最大のものは...
どうように...高さが半分で底辺に平行な線で切り取られるものになりますね ^^

uch*n*an  
No title

私は二つの方法で解きました。
(解法1)は,変数の置き方などが少し違いますが,実質,[解答1]と同じ。
(解法2)は,少しアプローチが違いますが,方針は[解答3]と同じでした。
一応,ご参考までに,書いておきます。
なお,[解答2]は考えませんでしたが,[解答1]に近いかな,という気はしますね。

uch*n*an  
No title

(解法2)
Q,R から AD に垂線を下ろし,その足を H,I とします。
すると,□DPQR = □HQRI なので,□HQRI の最大を考えればいいです。
AD と BC の延長の交点を E とし △ABE を考えます。相似より,CE = 7/3,BE = 28/3 です。
今,△BQR,△AQH,△REI を QR,QH,RI で折り返し,B,A,E の移動先を B',A',E' とします。
すると,△AQH ≡ △A'QH,△REI ≡ △RE'I,△BQR ≡ △B'QR で,
AQ',RE' 又はその延長の交点を X とすると,
角度の関係などから △XQR ≡ △BQR ≡ △B'QR,X = B' です。
そこで,△B'QR,△A'QH,△R'EI,□HQRI の重なり具合から,

uch*n*an  
No title

△ABE = □HQRI + △BQR + △AQH + △REI
□HQRI <= △B'QR + △A'QH + △R'EI = △BQR + △AQH + △REI = △ABE - □HQRI
□DPQR = □HQRI <= △ABE/2
ただし,等号は B',A',E' が AE 上で一点に重なるときで,
B,B' は QR から等距離なので,Q,R が AB,BE の中点になるときです。
そして,このとき,□DPQR は最大で,
□DPQR の最大値 = △ABE/2 = BE * AB * 1/2 * 1/2 = 28/3 * 4 * 1/4 = 28/3
になります。

黒翼  
No title

解答3の計算が一番簡単ですね.
また,直感的にも納得できます.

ただ,正確に示すにはやはりいくつかのステップを踏まなくてはいけないようで,この問題は見た目ほど簡単ではないのでしょう.

はじめから二次関数で解けば,その最大値を求めるだけで済むので,いろいろ示すステップは不要ですね.

tsuyoshik1942  
No title

自分の解法は、「解答3もどき」です。

該平行四辺形が長方形HBRSと等しいことは捉えましたが、そこで考察は止まり、以下は、「この長方形が最大となる時は、長方形のS点がAEの中点である」と直感で決め付け、答を求めました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花もいろんな色があります。これを見ると夏を感じます。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
☂に濡れたカンナは絵になるなぁと思って撮りましたが、
流石に☂をさしながらでは撮りにくいものです。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントを有難う御座います。
同じ面積の長方形にもっていけば簡単ですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、詳しい解答を有難う御座います。
この折り返しの解答は、斜めの線に関しての対称な点をとらなければなりません。
「ペイント」を使って図を描くのが非常に難しいのでパスしました。

折角の解答ですので、みなさん、手書きして頂ければよく分かります。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
二次関数で解けば説明は楽ですが、いろいろ工夫すると面白いですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
「この長方形が最大となる時は、長方形のS点がAEの中点である」ことは、
図なしの説明が難しいので省略されたものだと解釈していました。

黒翼  
No title

>二次関数で解けば説明は楽ですが、いろいろ工夫すると面白いですね。

その通りです.数学の面白さを追求することを忘れてました.
ただ,テストの答案に書くなら,やはり,二次関数になるかもしれません.機械的でつまらない分,僕のような未熟者でも,文句のつかない解答を書きやすいですから.笑

昼の時点で忘れていたポチ☆を入れさせていただきます.

黒翼  
No title

Wポチ☆☆でした.

固定マウスのPCを使おうと思っていたのですが,家族に先客がいまして無理でした.

テスト中で時間が限られてしまっているので,このPCでWを出すのが,今の僕の限界です.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントとWポチを有難う御座います。
減点されない答案はやはり2次関数ですか。
でも、機械的な計算は、間違ったときに気づきにくいですね。
答は解答3で出しておいて、答案は解答1ですか。

黒翼  
No title

そうですね.解答3を使えば,直感と少しの計算で答えを出せるので,答案は2次関数という流れかもしれません.

学校での試験程度なら,少々の説明不足で減点されることも無いとは思いますし,ヤドカリさんのように,解答3を完璧に書ききる実力があれば,何の問題も無いのですが.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
解答の書き方は難しいですね。
私は解答説明を書く時、何度か見直します。

黒翼  
No title

解答の見直しは大切ですね.
試験の時には一応見直しますが,授業で教わった書き方をそのまま書くことが多いです.

授業より先に勉強してたりして,解答の書き方に戸惑ったこともありました.最も授業が早すぎて,今ではすべての内容が初めましての状況なのでそんなことはありませんが…

いずれにしろ,自分の解法をきちんと示す力は身につけないといけませんね.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座いました。
試験に全力を尽くして下さいね。