FC2ブログ

Welcome to my blog

[答284] 3次方程式の実数解

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答284] 3次方程式の実数解


 3次方程式 x3-6x-6=0 の実数解は?



[解答1]

 f(x)=x3-6x-6 とすれば、f'(x)=3x2-6。

 極大値 f(-√2)=4√2-6<0, 極小値 f(√2)=-4√2-6<0。

 したがって、f(x)=0 の実数解はただ1つです。

 x=y+z とおけば、

 (y+z)3-6(y+z)-6=0 、y3+z3+3yz(y+z)-6(y+z)-6=0 、

 y3+z3-6+3(y+z)(yz-2)=0 になります。

 ここで、y3+z3=6, yz=2 を満たす実数y,zを求めると、

 y3z3=8 だから、

 y3,z3 を解とする2次方程式は、t2-6t+8=0。解くと、t=2,4。

 y3=2,z3=4 とすると、y=3√2, z=3√4 。

 この実数解は、x=y+z=3√2+3√4=2.847322…… 。


[解答2]

 x3-6-3x・2=0 で、-6=y3+z3, 2=yz とおけば、

 x3+y3+z3-3xyz=0 となって、

 1の虚数立方根の1つをωとすれば、

 (x+y+z)(x+yω+zω2)(x+yω2+zω)=0 、

 x=-y-z ,-yω-zω2 ,-yω2-zω になります。

 y3z3=8 だから、

 y3,z3 を解とする2次方程式は、t2+6t+8=0。解くと、t=-2,-4。

 y3=-2,z3=-4 とすると、y=-3√2,z=-3√4 。

 この実数解は、x=-y-z=3√2+3√4=2.847322…… 。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
Yasuko  
No title

W!ポチ☆です☆

アキチャン  
No title

おはようございます。
雨に濡れたお花は 風情がありますね (o^-^o)ポチ♪
こちら、今晴れていますが、午後から雨の予報です f(^_^;
ジメジメと梅雨らしいですね!

uch*n*an  
No title

私の解法は,[解答2]でした。この解法の背景には,次の恒等式,
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz
= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)
= (x + y + z)(x + yω + zω^2)(x + yω^2 + zω)
があります。
[解答1]も考えましたが,まぁ,いいだろう,と思って書きませんでした。
同じことですが,
(y + z)^3 - 3yz(y + z) - (y^3 + z^3) = 0,x = y + z
として,係数を比較してもいいですね。
なお,3次方程式といえば,解の公式のカルダノの公式が知られていますが,
[解答1],[解答2]のどちらの方法でも容易に証明できます。
ただ,[解答1]の式変形の方が,より多く見かけるような気がします。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
3次方程式も工夫次第で解けるんですよねぇ ^^;...
虚数の概念のない頃カルダノさんとかフェラーリさんとかが編み出されたんですよね...♪
示されるとなるほどと思いますが...よく思いついたものだと感心するのみ...^^;...
5次以上も、工夫次第で解けるとチャレンジするのはふつうですよね...もし、わたしがその頃生きてたら...その無謀なチャレンジで人生を棒に振ってるかもしれません...?...^^;v
そのとき、不可能じゃないのかって発想が湧きかつそれを証明できる人ってのが天才と呼ばれる人々なんでしょね...♪

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
小雨の中の撮影です。雫の付いている花もまたいいものです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
仰る通り、梅雨の風情です。雨の中でも綺麗に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
今日も朝から湿度が高くて汗ばみながら出勤しました。
夏至の一日、普段と同じでした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
雨がよく降りますね。本当に梅雨らしいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
高校時代、因数定理を使っての高次方程式しか習いませんでしたが、
やはり、この方法も捨てがたいです。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
アーベルとガロアですね。
その時代に独自の理論を展開してよく考えたものです。

黒翼  
No title

コメント遅れました.

解答1の方がすんなり理解できました.
式変形もこちらの方が若干簡単に思えます.ポチ☆

黒翼  
No title

☆Wポチ☆成功しました.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
解答2の因数分解は美しい式だと思います。
この公式で、3つの数の相加相乗平均の関係もでます。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
ジキタリスの花って独特ですね。ピンクよりやはり
白いのがいいです。名前が心臓の薬と同じのがありますが
何か関係あるのかな?

きつねの手袋で思いだすのは新見南吉の「手袋を買いに」
。私大好きで絵本2冊持っています。。
ポチ

いっちゃん  
No title

あれ?Wかな?^^♪

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、久しぶりのコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
手袋が濡れてキツネも困っているかも知れませんね。
いつも面白い発想を有難う御座います。

いっちゃん  
No title

わっ!!びっくりしました♪

まだ起きてらしたのですか?起きれませんよぉ~~~

おやすみなさい。。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、再度のコメントを有難う御座います。
私のこの時間帯のコメントはほとんどありませんが……。

村石太マン  
No title

今日は 頭痛がします。また 来ますね。数学同好会(名前検討中

ヤドカリ  
No title

村石太マンさん、初めまして。
用件がよく分かりませんので、次のコメントを待ちます。
できれば、簡単な自己紹介と、どうしてこのブログを知られたかぐらいは、
挨拶代わりに書いて頂ければと思います。
とりあえず、頭痛が直るよう願っております。