[答285] ２円の面積の和

[答285] ２円の面積の和


　放物線 y＝x² と２点で接し、直線 y＝4x＋6 にも接する円は２つあります。

　その２つの面積の和は？


[解答1]

　y＝x² と円の接点を A(±a，a²)とすると、

　y'＝2x だから、Aでの法線は、y－a²＝(－1/2a)(x－a) で、

　x＝0 とすれば、y＝a²＋1/2 だから、円の中心をCとすれば、C(0，a²＋1/2)です。

　円の半径をｒとすれば、r²＝CA²＝a²＋1/4 になり、C(0，r²＋1/4)です。

　C と 直線 4x－y＋6＝0 の距離は半径ｒだから、

　ヘッセの公式により、|－r²－1/4＋6|/√(4²＋1²)＝r 、

　|－r²＋23/4|＝r√17 、２乗して、r⁴－(23/2)r²＋529/16＝17r² 、

　r⁴－(57/2)r²＋529/16＝0 になります。

　２円の半径をα，βとすれば、解と係数の関係より、α²＋β²＝57/2 です。

　面積の和は、πα²＋πβ²＝(57/2)π です。


[解答2]

　円の中心をC(0，b)，半径を r とすると、円の方程式は、x²＋(y－b)²＝r² 、

　x²＝y を代入して、y＋(y－b)²＝r² 、y²－(2b－1)y＋b²－r²＝0 、

　判別式は (2b－1)²－4(b²－r²)＝0 、b＝r²＋1/4 で、

　C(0，r²＋1/4) となって、以下[解答1]と同じです。


☆ r²＝57/4±√170 ，a²＝14±√170 ，b＝29/2±√170 になります。

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