[答285] 2円の面積の和
[答285] 2円の面積の和
放物線 y=x2 と2点で接し、直線 y=4x+6 にも接する円は2つあります。
その2つの面積の和は?
[解答1]
y=x2 と円の接点を A(±a,a2)とすると、
y'=2x だから、Aでの法線は、y-a2=(-1/2a)(x-a) で、
x=0 とすれば、y=a2+1/2 だから、円の中心をCとすれば、C(0,a2+1/2)です。
円の半径をrとすれば、r2=CA2=a2+1/4 になり、C(0,r2+1/4)です。
C と 直線 4x-y+6=0 の距離は半径rだから、
ヘッセの公式により、|-r2-1/4+6|/√(42+12)=r 、
|-r2+23/4|=r√17 、2乗して、r4-(23/2)r2+529/16=17r2 、
r4-(57/2)r2+529/16=0 になります。
2円の半径をα,βとすれば、解と係数の関係より、α2+β2=57/2 です。
面積の和は、πα2+πβ2=(57/2)π です。
[解答2]
円の中心をC(0,b),半径を r とすると、円の方程式は、x2+(y-b)2=r2 、
x2=y を代入して、y+(y-b)2=r2 、y2-(2b-1)y+b2-r2=0 、
判別式は (2b-1)2-4(b2-r2)=0 、b=r2+1/4 で、
C(0,r2+1/4) となって、以下[解答1]と同じです。
☆ r2=57/4±√170 ,a2=14±√170 ,b=29/2±√170 になります。
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