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[答285] 2円の面積の和

ヤドカリ

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[答285] 2円の面積の和


 放物線 y=x2 と2点で接し、直線 y=4x+6 にも接する円は2つあります。

 その2つの面積の和は?


[解答1]

 y=x2 と円の接点を A(±a,a2)とすると、

 y'=2x だから、Aでの法線は、y-a2=(-1/2a)(x-a) で、

 x=0 とすれば、y=a2+1/2 だから、円の中心をCとすれば、C(0,a2+1/2)です。

 円の半径をrとすれば、r2=CA2=a2+1/4 になり、C(0,r2+1/4)です。

 C と 直線 4x-y+6=0 の距離は半径rだから、

 ヘッセの公式により、|-r2-1/4+6|/√(42+12)=r 、

 |-r2+23/4|=r√17 、2乗して、r4-(23/2)r2+529/16=17r2

 r4-(57/2)r2+529/16=0 になります。

 2円の半径をα,βとすれば、解と係数の関係より、α2+β2=57/2 です。

 面積の和は、πα2+πβ2=(57/2)π です。


[解答2]

 円の中心をC(0,b),半径を r とすると、円の方程式は、x2+(y-b)2=r2

 x2=y を代入して、y+(y-b)2=r2 、y2-(2b-1)y+b2-r2=0 、

 判別式は (2b-1)2-4(b2-r2)=0 、b=r2+1/4 で、

 C(0,r2+1/4) となって、以下[解答1]と同じです。


☆ r2=57/4±√170 ,a2=14±√170 ,b=29/2±√170 になります。

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Comments 20

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Yasuko  
No title

W!ポチ☆です!

uch*n*an  
No title

私は二つの方法で解きました。(解法1)が[解答1],(解法2)が[解答2]でした。
ただ,最初,(解法2)はつまらない計算ミスで変な結果が出て,おかしいなぁ,と,
しばし悩んでいた,というお粗末でしたが...orz
この問題は,そのまま大学入試に出てもよさそうな標準的な問題だと思います。
なお,ヘッセの公式,という名前は,しばし思い出せず,すっかり忘れておりました (^^;

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
ヘッセの公式(点と直線との距離)...重要なのに...覚えられない...^^;
解法1はスマートですね♪
r^2に√が出て来たときは...ありゃぁ~と思うも...面積なので奇麗に消えてめでたしめでたしってところでした...Orz~v

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
理由は知りませんが、「点と直線の距離の公式」と習うようですね。
「ヘッセの標準形」というのもあり、「ヘッセの公式」と言えば良いと思います。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
これもムシトリナデシコです。ヨーロッパ中南部の原産だそうです。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントと初めてのトリプルポチを有難う御座います。
初めてのが私のブログで非常に嬉しいです。
私もチャレンジしたいので、できれば近いうちにその機会を……。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
よくお分かりですね。
花の文化園で、「ムシトリナデシコ酔白花」と名札が立ててありました。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
これは花の文化園で撮ったものです。
花の文化園の薔薇園を登った所に世界のいろんな場所の野草が植えられています。
季節によって咲いていることがあり、私はそこの花々が好きです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
「ヘッセの公式」という名前で最初から教えてもらえればいいですね。
ピタゴラスやヘロンやパップスのように。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
「ヘッセの公式」は、直線を ax+by+c=0 の形にして、
分母が √{(xの係数)^2+(yの係数)^2} で、
分子が |直線の左辺に点の座標を代入| と覚えています。

スモークマン  
No title

グラッチェ♪
覚えられそう...かも...^^;v
基本的にこの導出を知っていれば思い出せるわけですけどね...^^;...

いっちゃん  
No title

ああぁ~
これもムシトリナデシコだったのですね。
あんまり可愛く撮ってあるから間違えました^^
今日も暑かったですね。。。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
ドイツの数学者ルードヴィヒ・オットー・ヘッセ です。
このごろ、ちょっと忙しいので、気分的余裕ができ、その時に覚えていれば……。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、再度のコメントを有難う御座います。
ヨーロッパ中南部の原産らしいので、間違っても仕方ないです。
今日も暑くて暑くて……。

uch*n*an  
No title

>「ヘッセの標準形」というのもあり、「ヘッセの公式」と言えば良いと思います。
「ヘッセの標準形」というのは記憶にないです。どういうものですか?

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。

原点からの距離がrである直線を、ax+by=r の形に表せば、
「ヘッセの標準形」と呼ばれます。
このとき、a,b は、この直線の法線ベクトルと座標軸となす角の余弦になります。
これは、x^2+y^2=r^2 の点(r・cosθ,r・sinθ)での接線を考えれば明らかです。
逆にいえば、a^2+b^2=1,r>0 になるように、直線をax+by=r の形に表せば、
原点と直線の距離や、直線の法線ベクトルと座標軸となす角の余弦がすぐに分かります。

原点からの距離がrである平面を、ax+by+cz=r の形に表しても同様です。

uch*n*an  
No title

なるほど,ありがとうございます。勉強になりました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座いました。
crazy_tomboさんもつい先ほど、記事にされていました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わかりやすい説明を訪ねて数千里...^^;
ベクトルが簡単な気がするんだけど...扱いきれる力失せてる...^^;;...
それにしても今日の(も)この暑さよ...節電忘れなきゃ...熱中症になるよ~...Orz...v

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座いました。
貴殿のブログを拝見すると、もう説明の必要がなさそうです。