[答286] ６桁の回文数

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[答286] ６桁の回文数


　６桁の回文数で、952の倍数であるものは？


[解答1]

　952＝8･7･17 です。

　求める回文数をＮとし、上の位の数から a，b，c，c，b，a (a≠0)とすると、

　N＝100001a＋10010b＋1100c になります。

　N＝8(12500a＋1251b＋137c)＋(a＋2b＋4c) ですので、a＋2b＋4c は 8の倍数、

　N＝7(14286a＋1430b＋157c)＋(－a＋c) ですので、－a＋c は 7の倍数、

　N＝17(5882a＋588b＋64c)＋(7a＋14b＋12c) ですので、7a＋14b＋12c は 17の倍数です。

　a＋2b＋4c が 8の倍数だから、ａは偶数で、－a＋c が 7の倍数だから、

　(a，c)＝(2，2)，(4，4)，(6，6)，(8，8)，(2，9)，(8，1) だけが適します。

　次に、7a＋14b＋12c が 17の倍数だから、6倍して、42a＋84b＋72c は 17の倍数、

　17(2a＋5b＋4c) を引いて、8a－b＋4c は 17の倍数です。

　上記の(a，c)に対して、8a＋4c＝24，48，72，96，52，68 だから、

　ｂを引いて 17の倍数にできるのは、24－7＝17，72－4＝68，52－1＝51，68－0＝68 です。

　従って、(a，b，c)＝(2，7，2)，(6，4，6)，(2，1，9)，(8，0，1) 、

　このうち、a＋2b＋4c が 8の倍数になるのは、(a，b，c)＝(2，7，2)，(2，1，9) で、

　求める６桁の回文数は、272272＝952･286 ，219912＝952･231 です。


[解答2] [解答1]の a＋2b に着目した改良版

　求める回文数をＮとし、上の位の数から a，b，c，c，b，a (a≠0)とすると、

　N＝100001a＋10010b＋1100c になります。

　952＝7･136 で、

　N＝7(14286a＋1430b＋157c)＋c－a だから、c－a は 7の倍数、

　N＝136(735a＋73b－10c)＋41a＋82b＋2460c＝136(735a＋73b－10c)＋41(a＋2b＋60c) だから、

　 a＋2b＋60c は 136 の倍数、a は偶数です。

　2≦a＋2b＋60c≦576 だから、a＋2b＋60c＝136，272，408，544 しか考えられません。

　2≦a＋2b≦26 に注意して、(a＋2b，c)＝(16，2)，(4，9) になります。

　a が偶数、c－a が 7の倍数であることに注意して、(a，b，c)＝(2，7，2)，(2，1，9) となって、

　N＝272272，219912 になります。


[解答3]

　偶数桁の回文数は 11の倍数になりますので、求める回文数は 952･11＝10472 の倍数です。

　求める回文数を 10472n として 1の位と 100000の位に着目します。

　ｎの１の位が １か６のとき、200002≦10472n≦299992 、20≦n≦28 、n＝21，26 、

　ｎの１の位が ２か７のとき、400004≦10472n≦499994 、39≦n≦47 、n＝42，47 、

　ｎの１の位が ３か８のとき、600006≦10472n≦699996 、58≦n≦66 、n＝58，63 、

　ｎの１の位が ４か９のとき、800008≦10472n≦899998 、77≦n≦85 、n＝79，84 です。

　10472･21＝219912 ，10472･26＝272272 ，10472･42＝439824 ，10472･47＝492184 ，

　10472･58＝607376 ，10472･63＝659736 ，10472･79＝827288 ，10472･84＝879648 だから、

　求める６桁の回文数は、272272 ，219912 です。

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