[答286] 6桁の回文数
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[答286] 6桁の回文数
6桁の回文数で、952の倍数であるものは?
[解答1]
952=8・7・17 です。
求める回文数をNとし、上の位の数から a,b,c,c,b,a (a≠0)とすると、
N=100001a+10010b+1100c になります。
N=8(12500a+1251b+137c)+(a+2b+4c) ですので、a+2b+4c は 8の倍数、
N=7(14286a+1430b+157c)+(-a+c) ですので、-a+c は 7の倍数、
N=17(5882a+588b+64c)+(7a+14b+12c) ですので、7a+14b+12c は 17の倍数です。
a+2b+4c が 8の倍数だから、aは偶数で、-a+c が 7の倍数だから、
(a,c)=(2,2),(4,4),(6,6),(8,8),(2,9),(8,1) だけが適します。
次に、7a+14b+12c が 17の倍数だから、6倍して、42a+84b+72c は 17の倍数、
17(2a+5b+4c) を引いて、8a-b+4c は 17の倍数です。
上記の(a,c)に対して、8a+4c=24,48,72,96,52,68 だから、
bを引いて 17の倍数にできるのは、24-7=17,72-4=68,52-1=51,68-0=68 です。
従って、(a,b,c)=(2,7,2),(6,4,6),(2,1,9),(8,0,1) 、
このうち、a+2b+4c が 8の倍数になるのは、(a,b,c)=(2,7,2),(2,1,9) で、
求める6桁の回文数は、272272=952・286 ,219912=952・231 です。
[解答2] [解答1]の a+2b に着目した改良版
求める回文数をNとし、上の位の数から a,b,c,c,b,a (a≠0)とすると、
N=100001a+10010b+1100c になります。
952=7・136 で、
N=7(14286a+1430b+157c)+c-a だから、c-a は 7の倍数、
N=136(735a+73b-10c)+41a+82b+2460c=136(735a+73b-10c)+41(a+2b+60c) だから、
a+2b+60c は 136 の倍数、a は偶数です。
2≦a+2b+60c≦576 だから、a+2b+60c=136,272,408,544 しか考えられません。
2≦a+2b≦26 に注意して、(a+2b,c)=(16,2),(4,9) になります。
a が偶数、c-a が 7の倍数であることに注意して、(a,b,c)=(2,7,2),(2,1,9) となって、
N=272272,219912 になります。
[解答3]
偶数桁の回文数は 11の倍数になりますので、求める回文数は 952・11=10472 の倍数です。
求める回文数を 10472n として 1の位と 100000の位に着目します。
nの1の位が 1か6のとき、200002≦10472n≦299992 、20≦n≦28 、n=21,26 、
nの1の位が 2か7のとき、400004≦10472n≦499994 、39≦n≦47 、n=42,47 、
nの1の位が 3か8のとき、600006≦10472n≦699996 、58≦n≦66 、n=58,63 、
nの1の位が 4か9のとき、800008≦10472n≦899998 、77≦n≦85 、n=79,84 です。
10472・21=219912 ,10472・26=272272 ,10472・42=439824 ,10472・47=492184 ,
10472・58=607376 ,10472・63=659736 ,10472・79=827288 ,10472・84=879648 だから、
求める6桁の回文数は、272272 ,219912 です。
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