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[答286] 6桁の回文数

ヤドカリ

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[答286] 6桁の回文数


 6桁の回文数で、952の倍数であるものは?


[解答1]

 952=8・7・17 です。

 求める回文数をNとし、上の位の数から a,b,c,c,b,a (a≠0)とすると、

 N=100001a+10010b+1100c になります。

 N=8(12500a+1251b+137c)+(a+2b+4c) ですので、a+2b+4c は 8の倍数、

 N=7(14286a+1430b+157c)+(-a+c) ですので、-a+c は 7の倍数、

 N=17(5882a+588b+64c)+(7a+14b+12c) ですので、7a+14b+12c は 17の倍数です。

 a+2b+4c が 8の倍数だから、aは偶数で、-a+c が 7の倍数だから、

 (a,c)=(2,2),(4,4),(6,6),(8,8),(2,9),(8,1) だけが適します。

 次に、7a+14b+12c が 17の倍数だから、6倍して、42a+84b+72c は 17の倍数、

 17(2a+5b+4c) を引いて、8a-b+4c は 17の倍数です。

 上記の(a,c)に対して、8a+4c=24,48,72,96,52,68 だから、

 bを引いて 17の倍数にできるのは、24-7=17,72-4=68,52-1=51,68-0=68 です。

 従って、(a,b,c)=(2,7,2),(6,4,6),(2,1,9),(8,0,1) 、

 このうち、a+2b+4c が 8の倍数になるのは、(a,b,c)=(2,7,2),(2,1,9) で、

 求める6桁の回文数は、272272=952・286 ,219912=952・231 です。


[解答2] [解答1]の a+2b に着目した改良版

 求める回文数をNとし、上の位の数から a,b,c,c,b,a (a≠0)とすると、

 N=100001a+10010b+1100c になります。

 952=7・136 で、

 N=7(14286a+1430b+157c)+c-a だから、c-a は 7の倍数、

 N=136(735a+73b-10c)+41a+82b+2460c=136(735a+73b-10c)+41(a+2b+60c) だから、

  a+2b+60c は 136 の倍数、a は偶数です。

 2≦a+2b+60c≦576 だから、a+2b+60c=136,272,408,544 しか考えられません。

 2≦a+2b≦26 に注意して、(a+2b,c)=(16,2),(4,9) になります。

 a が偶数、c-a が 7の倍数であることに注意して、(a,b,c)=(2,7,2),(2,1,9) となって、

 N=272272,219912 になります。


[解答3]

 偶数桁の回文数は 11の倍数になりますので、求める回文数は 952・11=10472 の倍数です。

 求める回文数を 10472n として 1の位と 100000の位に着目します。

 nの1の位が 1か6のとき、200002≦10472n≦299992 、20≦n≦28 、n=21,26 、

 nの1の位が 2か7のとき、400004≦10472n≦499994 、39≦n≦47 、n=42,47 、

 nの1の位が 3か8のとき、600006≦10472n≦699996 、58≦n≦66 、n=58,63 、

 nの1の位が 4か9のとき、800008≦10472n≦899998 、77≦n≦85 、n=79,84 です。

 10472・21=219912 ,10472・26=272272 ,10472・42=439824 ,10472・47=492184 ,

 10472・58=607376 ,10472・63=659736 ,10472・79=827288 ,10472・84=879648 だから、

 求める6桁の回文数は、272272 ,219912 です。

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Comments 14

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古い人  
No title

今日の花はユリ本来の下向きに咲いてますね。

ヘメロカリスの花は上向きですものね。ポチ。

黒翼  
No title

なるほど,毎度のことながらやはり鮮やかですね.

ただ,解答3の解法の流れが理解できません.
nの1の位が1か6⇒200000≦10472n≦299999
となる理由が考えてもさっぱりです.

いっちゃん  
No title

おはようございます。
このお花もヘメロカリスなんですね。古い人さんと
同じく「あれ?下向いて謙虚、恥ずかしがり屋さんなんだな」と思いました。笑
ポチ

いっちゃん  
No title

ほし2つでございまする。。

uch*n*an  
No title

私は二つの方法で解きました。表現方法,途中の計算方法などに違いはありますが,
基本的には,(解法1)が[解答3],(解法2)が[解答1]でした。
[解答2]のような工夫はあるだろうな,とは思いましたが,特には考えませんでした。
いずれにせよ,面倒ではありますね。禁じ手でしょうが,プログラムが一番楽かなぁ。

uch*n*an  
No title

黒翼さんへ
>nの1の位が1か6⇒200000≦10472n≦299999
>となる理由が考えてもさっぱりです.
n の1の位が 1 か 6 のとき,求める回文数 10472n の1の位は 2 になるので,
求める回文数が6桁であることから,6桁目は 2 になります。
そこで,200000 ≦ 10472n ≦ 299999 がいえます。
これより,20 ≦ n < 30 ですが,n の1の位が 1 か 6 なのは, n = 21, 26 だけです。
後も同様な議論だと思います。ただ,後の方は,n の範囲が下がってくるのに要注意ですね。
あ,n の1の位が 0 か 5 はありえないのはいいですよね。
このとき回文数の1の位は 0 で,回文数は6桁なので,6桁目が 0 はありえないので。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
示されて見ると当然なる流れなんだけど...気づけないのよね...^^;
解法3のもっと雑な方法で...プログラムで解いたのと変わらぬ計算量だったかも...^^;;...暑いときゃ...解法もクールビズを考えなきゃいけません...^^;;...Orz~v

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このユリは別の所で獲りました。
オニユリかコオニユリかよく分かりませんが、どちらかだと思って撮りました。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
> nの1の位が1か6⇒200000≦10472n≦299999
> となる理由が考えてもさっぱりです.
下のuch*n*anがコメントしてくれた通りです。
分かりやすいように、
> nの1の位が1か6⇒200002≦10472n≦299992
のように訂正しました。
最初からこのように書けば、分かり易かったでしょうね。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
このごろ好調にWですね。有難いです。
ところで、花は、多分、オニユリかコオニユリでしょう。
いっちゃんに見られることを予想して、恥ずかしそうに下を向いていたのかも知れません。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと黒翼さんへの説明を有難う御座います。
分かりやすいように、
> nの1の位が1か6⇒200002≦10472n≦299992
のように訂正しました。
禁じ手は、上下の1桁が等しいものから回文数を選ぶ程度でも良いかも知れません。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
コメントより、解く時の膨大な計算に頭が下がります。

黒翼  
No title

uch*n*anさん,ヤドカリさん

分かりやすい解答をありがとうございました.
返事が遅れてしまい大変申し訳ありません.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座いました。